Bài làm của
MSS52 - Nguyen Viet Khanh 6c :
Đề bài :Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix} x^{3} = 6(y + 1)\\y^{3} = 6(x + 1) \end{matrix}\right.$$
Giải :Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x^{3} = 6(y + 1)\\y^{3} = 6(x + 1) \end{matrix}\right.$.
Trừ hai phương trình cho nhau, ta có :
$\left [ x^{3} - 6\left ( y + 1 \right ) \right ] - \left [ y^{3} - 6\left ( x + 1 \right ) \right ]$
$= \left ( y^{3} - 6x - 6 \right ) - \left ( x^{3} - 6y - 6 \right )$
$= x^{3} - 6y - 6 - y^{3} + 6x + 6$
$= x^{3} - 6y - y^{3} + 6x$
$= x^{3} - y^{3} - 6\left ( x - y \right )$
_____$(1)$
$= 0$
hay
$\left ( x - y \right )\left ( x^{2} + xy + y^{2} + 6 \right ) = 0$.
_____$(2)$
Vì $x^{2} + xy + y^{2} + 6 = \left ( x + \frac{y}{2} \right )^{2} + \frac{3}{4}.y^{2} + 6 > 0$ nên phương trình tương đương với $x = y$.
Thay $x = y$ vào phương trình thứ nhất(hoặc thứ hai) trong hệ phương trình mà đầu bài đã cho, ta được : $x^{3} - 6x - 6 = 0$. Nhờ phương pháp $\text{Cardano}$ cho phương trình bậc ba ta có $1$ nghiệm của phương trình trên là $a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.
Ta có :
$0 = x^{3} - 6x - 6 = \left ( x - a \right )\left ( x^{2} + bx + c \right )$
trong đó $b, c$ là hai số mà ta cần xác định.
Phá biểu thức cuối ra ta được :
$\left ( x - a \right )\left ( x^{2} + bx + c \right ) = x^{3} + \left ( b - a \right )x^{2} + \left ( c - ab \right )x - ac$.
Suy ra các hệ số trước số mũ tương ứng của $x$ phải bằng nhau (để $x^{3} + \left ( b - a \right )x^{2} + \left ( c - ab \right )x - a = x^{3} - 6x - 6$).
Nghĩa là $b - a = 0$ và $-ac = -6$, tức là $b = a$ và $c = \frac{6}{a}$.
Bài toán trở thành :
Tìm nghiệm của $x^{2} + bx + c = 0$.
Ta có :
$x^{2} + bx + c = 0$
_____$(3)$
$\Leftrightarrow \left ( x + \frac{b}{2} \right )^{2} = \frac{b^{2}}{4} - c$.
_____$(4)$
Đặt $\Delta = b^{2} - 4c$. Từ $(3)$ $,$ $(4)$ ta suy ra công thức tính nghiệm $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$.
Như vậy phương trình bậc $2$ này có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta \geq 0$. Nếu bài toán đòi hỏi thêm nghiệm phức thì ta có $\Delta < 0$.
Vậy, ta có kết luận :
Nếu muốn nghiệm thực thì chỉ có duy nhất nghiệm $x = y = a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$. Còn nếu lấy nghiệm phức thì có tất cả là $3$ nghiệm : $x = y = a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ $,$ $x = y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$.
Mở rộng bài toán :Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{n} = 2n(y + n - 2)\\y^{n} = 2n(x + n - 2) \end{matrix}\right.$ $(n \neq 0)$.
Bài làm làm sau thời hạn nộp bài
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:10
Chấm bài