Chủ đề này có 1 trả lời

[hungpronc1]

Tìm tích phân: $$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}d_{x}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 22-01-2013 - 01:17

[hoangtrong2305]

Tìm tích phân: $$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}d_{x}$$

$\int \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx$

Đặt $t=\sqrt[4]{x}$

$\Rightarrow t^{4}=x$

$\Rightarrow t^{2}=\sqrt{x}$

$\Rightarrow 4t^{3}\, \, dt=dx$

Nguyên hàm thành:

$\int \frac{t.4t^{3}}{1+t^{2}}dt$

$=4\int \frac{t^{4}}{1+t^{2}}dt$

$=4\int (t^{2}-1+\frac{1}{1+t^{2}})dt$

$=\frac{4t^{3}}{3}-4t+C+4\int\frac{1}{1+t^{2}}dt$

$=\frac{4(\sqrt[4]{x})^{3}}{3}-4\sqrt[4]{x}+C+\int\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Xét $4\int\frac{1}{1+t^{2}}dt$

Đặt $t=\tan u\Rightarrow dt=(1+\tan^{2}u)du$, nguyên hàm thành:

$4\int\frac{1+\tan^{2}u}{1+\tan^{2}u}\, \, \, du=4\int du=4u+C$

$=4\arctan t+C= 4\arctan (\sqrt[4]{x})+C$

Vậy: $\int \frac{\sqrt[4]{x}}{1+\sqrt{x}}dx=\frac{4(\sqrt[4]{x})^{3}}{3}-4\sqrt[4]{x}+4\arctan (\sqrt[4]{x})+C$