Chủ đề này có 7 trả lời

[tramyvodoi]

Cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$
Bài này mình thấy trong 1 đề thi thử đại học. Nên các bạn post bài giải phù hợp để thi đại học nhé

[duong vi tuan]

làm vầy được ko


$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)\Leftrightarrow abc\geq \prod (a+b-c)$
nếu vp có 1 số hạng âm thì bdt đúng :
Ngược lại : $(a+b-c)(a+c-b)\leq a^2$
làm tương tự rồi nhân lại ta có đpcm

[N H Tu prince]

Cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$
Bài này mình thấy trong 1 đề thi thử đại học. Nên các bạn post bài giải phù hợp để thi đại học nhé

Biến đổi tương đương được $a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge 0$
đúng theo BDT schur

[tramyvodoi]

Biến đổi tương đương được $a(a-c)(a-b)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\ge 0$
đúng theo BDT schur

Đây là 1 bài trong đề thi thử đại học, nên không được schur đâu

[triethuynhmath]

Cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$
Bài này mình thấy trong 1 đề thi thử đại học. Nên các bạn post bài giải phù hợp để thi đại học nhé

Đây là bất đẳng thức Schur. Có cách này để chứng minh:
Ta đưa về chứng minh bất đẳng thức: $a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
Đặt $x=a-b,y=a-c\Rightarrow x,y\geq 0,y-x=b-c(y
geq x)$
Vậy ta đưa bất đẳng thức về:
$axy+b(x-y)x-c(x-y)y\geq 0\Leftrightarrow bx^2+cy^2\geq xy(b+c-a)$
Mặt khác: $bx^2+cy^2\geq cy^2\geq cxy\geq (b+c-a)xy (b\leq a)$(đpcm)
Vậy bài toán được giải quyết

[N H Tu prince]

Đây là 1 bài trong đề thi thử đại học, nên không được schur đâu

Nếu vậy thì làm thêm bước nữa,chứng minh schur cũng đâu khó lắm
Nếu có hai trong ba số bằng nhau BDT đúng
Trường hợp còn lại giả sử $a>b>c$
Chia cả hai vế cho $(a-b)(b-c)(a-c)$ được:
$\frac{a}{b-c}-\frac{b}{a-c}+\frac{c}{a-b}>0$
Từ điều giả sử dễ dàng suy ra đây là BDT đúng

[viet 1846]

Mình nghĩ cách phù hợp với THPT mà hay hay là dùng pp Look at the end point

[vutuanhien]

Cho 3 số không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
$\sum a^{3}+3abc\geq \sum ab(a+b)$
Bài này mình thấy trong 1 đề thi thử đại học. Nên các bạn post bài giải phù hợp để thi đại học nhé

Em xin được trình bày cách giải của mình:
BĐT tương đương với a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)$\geq 0$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c$. Khi đó VT $\geq$ a(a-b)(a-c)+c(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)=a(a-b)(a-c)+c$(b-c)^2$$\geq 0$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=0, b=c và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 24-01-2013 - 10:11