Cho $\Delta ABC$. Tìm Min của:
$S=\frac{\sqrt{1+2cos^{2}A}}{sinB}+\frac{\sqrt{1+2cos^{2}B}}{sinC}+\frac{\sqrt{1+2cos^{2}C}}{sinA}$
$S=\sum \frac{\sqrt{1+2cos^{2}A}}{sinB}$
Bắt đầu bởi Laser Angry Bird, 23-01-2013 - 08:13
#2
Đã gửi 03-02-2013 - 14:25
Laser Angry Bird
-
- Thành viên
-
- 81 Bài viết
Hạ sĩ
Mình xin giải bài toán như sau:
Áp dụng BĐT CBS, ta có: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2cos^{2}A\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}cosA \right )^{2}= \frac{2}{3}\left ( 1+cosA \right )^{2}= \frac{8}{3}cos^{4}\frac{A}{2}$
Tương tự với 2 BĐT còn lại.
Ta có: $S\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\prod \left ( 1+2cos^{2}A \right )}}{\prod sinA}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{16}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\prod cos\frac{A}{2}}{8\prod sinA}}= 3.\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt[3]{\prod cot\frac{A}{2}}\geq \sqrt{6}\sqrt[3]{3\sqrt{3}}= 3\sqrt{2}$
Áp dụng BĐT CBS, ta có: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+2cos^{2}A\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{2}{\sqrt{2}}+\sqrt{2}cosA \right )^{2}= \frac{2}{3}\left ( 1+cosA \right )^{2}= \frac{8}{3}cos^{4}\frac{A}{2}$
Tương tự với 2 BĐT còn lại.
Ta có: $S\geq 3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\prod \left ( 1+2cos^{2}A \right )}}{\prod sinA}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{\frac{16}{3}\sqrt{\frac{2}{3}}\prod cos\frac{A}{2}}{8\prod sinA}}= 3.\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt[3]{\prod cot\frac{A}{2}}\geq \sqrt{6}\sqrt[3]{3\sqrt{3}}= 3\sqrt{2}$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
