Chủ đề này có 1 trả lời

[beontop97]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
Chứng minh :
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác
Chứng minh :
$\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt{S}}$ (*)

sử dụng công thức Hê rông:
$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}}$ ta có:
$(*)\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+b-c}\geq \frac{3\sqrt[4]{3}}{2\sqrt[4]{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$

AM-GM:
$\sum \frac{1}{a+b-c}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$
nên ta chỉ cần chứng minh
$\frac{1}{\sqrt[3]{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\geq \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$
hay$\frac{1}{\sqrt[12]{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}\geq \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{(a+b+c)}}$
$\Leftrightarrow (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq \frac{(a+b+c)^{3}}{27}$
cái này đúng theo AM-GM $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq \frac{(a+b-c+b+c-a+c+a-b)^{3}}{27}=\frac{(a+b+c)^{3}}{27}$
=> dpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$