Chủ đề này có 1 trả lời

[barcavodich]

Cho $ x,y,z>0 $ và $ x+y+z=2 $
CMR $ x^3+y^3+z^3\leq1+\frac{1}{2}(x^4+y^4+z^4) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 24-01-2013 - 20:11

[25 minutes]

Cho $ x,y,z>0 $ và $ x+y+z=2 $
CMR $ x^3+y^3+z^3\leq1+\frac{1}{2}(x^4+y^4+z^4) $

Bđt đã cho tương đương với $2(x^3+y^3+z^3)\leq 2+x^4+y^4+z^4$
Thay $x+y+z=2$ vào ta được $(x+y+z)(x^3+y^3+z^3)\leq 2+x^4+y^4+z^4$
$\Leftrightarrow x(y^3+z^3)+y(x^3+z^3)+z(x^3+y^3)\leq 2$
$\Leftrightarrow x(y^3+z^3)+y(x^3+z^3)+z(x^3+y^3)+xyz(x+y+z)\leq 2+xyz(x+y+z)$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\leq 2+2xyz$
$\Leftrightarrow 8(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\leq 16+16xyz$
Ta sẽ chứng minh bđt mạnh hơn như sau $\Leftrightarrow 8(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\leq 16=(x+y+z)^4$
Bđt trên tương đương với $\Leftrightarrow 8(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\leq (x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)^2$
Đặt $\left\{\begin{matrix}
xy+yz+xz=b\\x^2+y^2+z^2=a

\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow b\geq a$
Bđt cần chứng minh tương đương với $8ab\leq (b+2a)^2\Leftrightarrow 4ab\leq b^2+(2a)^2$
Nhưng bđt luôn đúng theo AM-GM
Vậy $8(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+xz)\leq (x+y+z)^4=16\leq 16+16xyz$
Suy ra đpcm
Dấu = xảy ra khi $(x;y;z)=(0;1;1)$ và hoán vị các bộ số này ?