Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
__________
Bài 1: Cho $a,b$ là hai số thực thỏa mãn $a+b\geq 0$. Chứng minh bất đẳng thức :
$\left( \frac{a^2+b^2}{2}\right)^3 \geq 4(a^3+b^3)(ab-a-b)$
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên dương $m$, $n$ sao cho phân số $\frac{5mn+5m}{3m^2+2n^2}$ là số nguyên.
Bài 3: Cho tập hợp $X=${$1,2,3,....2n-1$} gồm $2n-1$ số tự nhiên $(n\geq 2)$. Người ta tô màu ít nhất $n-1$ phần tử của $X$ với điều kiện: Nếu $a$ và $b$ ( Không nhất thiết phân biệt ) được tô thì $a+b$ cũng được tô màu, miễn là $a+b\in X$. Gọi $S$ là tổng các số không được tô màu của $X$.
$a)$ Chứng minh rằng: $S\leq n^2$
$b)$ Hãy chỉ ra tất cả các phép tô màu sao cho $S=n^2$
Bài 4: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$ cố định ( $AB$ không đi qua $O$ ). Gọi $C$ là điểm chính giữa cung lớn $AB$. Đường thẳng $(d)$ thay đổi qua $C$, cắt tiếp tuyến tại $A$ và tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ lần lượt tại $D$ và $E$, $(d)$ cắt $(O)$ tại $P$. Gọi $Q$ là giao điểm của $AE$ và $BD$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn qua một điểm cố định khi $(d)$ thay đổi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 26-01-2013 - 17:53