4 replies to this topic

[huou202]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.

[Nguyen Duc Thuan]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.

Ta có:
$Q=\sum \frac{\left ( 3-2c \right )^3}{2c}$
Áp dụng AM-GM, ta có:
$\sum \frac{(3-2c)^3}{2c}+\sum \frac{2c}{4}+\sum \frac{1}{2}\geq \sum \frac{3}{2}\left ( 3-2c \right )$
$\Leftrightarrow Q+\frac{\sum c}{2}+\frac{3}{2}\geq \frac{27}{2}-3\sum c=\frac{9}{2}$
$\Rightarrow Q\geq \frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

[ducthinh26032011]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.

Đổi biến:
Đặt $b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z\Rightarrow x+y+z=3,x+y=2c,y+z=2a,z+x=2b$
$\Leftrightarrow VT=\sum \frac{z^{3}}{x+y}= \sum \frac{z^{3}}{x+y}+\sum \frac{x+y}{4}+\frac{3}{2}-\sum \frac{x+y}{4}-\frac{3}{2}\geq \sum \frac{3}{2}z$
$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[minhtuyb]

-Theo Holder (hoặc AM-GM) ta chứng minh được: $\dfrac{a^3}{x}+\dfrac{b^3}{y}+\dfrac{c^3}{z}\ge \dfrac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$
Từ đó suy ra ngay $Q\ge \dfrac{3^3}{3.2.3}=\dfrac{3}{2}\ \square$

[vutuanhien]

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của
$Q=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$.

Bài này cũng có thể giải bằng Cauchy Schwarz. Ta có $Q=\sum \frac{(a+b-c)^4}{2c(a+b-c)}\geq \frac{((a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2)^2}{4(ca+ab+bc)-2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca))^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\geq \frac{3}{2}$

Edited by vutuanhien, 28-01-2013 - 08:12.