Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=3 CMR $a^{2}+b^{2} +c^{2} + \sqrt{abc}\leq 9$
$a^{2}+b^{2} +c^{2} + \sqrt{abc}\leq 9$
Bắt đầu bởi kieutorres, 28-01-2013 - 20:12
#2
Đã gửi 29-01-2013 - 10:07
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Em nghĩ giải như sau: Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. BDT cần chứng minh tương đương với $a^2+b^2+c^2+\sqrt{abc}\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow \sqrt{abc}\leq 2(ab+bc+ca)$. Vì $c=min\left \{ a,b,c \right \}$ nên $c\leq 1\Rightarrow a+b\geq 2$$\Rightarrow 2ca+2cb=2c(a+b)\geq 2c$$\Rightarrow 2ab+2bc+2ca\geq 2ab+2c\geq \sqrt{4abc}\geq \sqrt{abc}$ (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=3, b=c=0 và các hoán vịCho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=3 CMR $a^{2}+b^{2} +c^{2} + \sqrt{abc}\leq 9$
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
