Chủ đề này có 1 trả lời

[qwertyuiop]

Cho a,b,c,d thoả:
$a+b+c+d=0$
Chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\geq \frac{12}{7}(a^4+b^4+c^4+d^4)$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c,d thoả:
$a+b+c+d=0$
Chứng minh:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2\geq \frac{12}{7}(a^4+b^4+c^4+d^4)$

Vì $\sum [b^2+c^2+d^2+3(bc+cd+db)]=3(\sum a)^2=0$ nên phải có ít nhát một số không âm trong 4 số

 

$b^2+c^2+d^2+3(bc+cd+db)$

 

$c^2+d^2+a^2+3(cd+da+ab)$

 

$d^2+a^2+b^2+3(da+ab+bd)$

 

$a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+cd)$

Không mất tính tổng quát, giả sử $b^2+c^2+d^2+3(bc+cd+db)\ge 0$

 

Do $\sum a^4=(\sum a^2)^2-2a^2(b^2+c^2+d^2)-2(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)$

nên bđt cần chứng minh tương đương

 

$24a^2(b^2+c^2+d^2)+24(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)\ge 5(\sum a^2)^2$

Theo bđt Cauchy-Schwarz:

 

$(1+1+1)(b^2c^2+c^2d^2+d^2b^2)\ge (bc+cd+db)^2$

Do đó ta cần chứng minh

 

$8 (bc+cd+db)^2 +24a^2(b^2+c^2+d^2) \ge 5(\sum a^2)^2$  (*)

Đặt

$x=b^2+c^2+d^2$

$y=bc+cd+db$ 

ta có 

$x+3y \ge 0$

 

$a^2=x+2y$

 

$(*)\Leftrightarrow 8y^2+24x(x+2y)\ge 5(x+2y)^2$

 

$\Leftrightarrow 4(x-y)(x+3y)\ge 0$

 

đúng do $x \ge y$ và $x+3y \ge 0$

 

$\Rightarrow$ đpcm

 

Dấu đẳng thức xẩy ra khi $a=-3b=-3c=-3d$ và các hoán vị