1 reply to this topic

[phanquockhanh]

Cho tam giác ABC nhọn chứng minh :
$\frac{1}{sin^{2}A}+\frac{1}{sin^{2}B}+\frac{1}{sin^{2}C}+2\geq 2\sqrt{3}(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2})$

Edited by phanquockhanh, 02-02-2013 - 20:21.

[dark templar]

Cho tam giác ABC nhọn chứng minh :
$\frac{1}{sin^{2}A}+\frac{1}{sin^{2}B}+\frac{1}{sin^{2}C}+2\geq 2\sqrt{3}(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2})$

Đầu tiên ta sẽ chứng minh :
\[\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}C}} \ge \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{A}{2}}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{B}{2}}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{C}{2}}} \quad (*)\]

Theo Cauchy-Schwarz thì :

\[\begin{array}{rcl}
\frac{1}{{{{\sin }^2}A}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}B}} &\ge& \frac{{{{\left( {\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}}} \right)}^2}}}{2}\\
&\ge& \frac{{\frac{{16}}{{{{\left( {\sin A + \sin B} \right)}^2}}}}}{2} = \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{{A - B}}{2}} \right)}}\\
&\ge& \frac{2}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}} = \frac{2}{{{{\cos }^2}\frac{C}{2}}}
\end{array}\]

Như vậy,ta sẽ có ngay (*).Do đó ta chỉ cần chứng minh :
\[\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{A}{2}}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{B}{2}}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{C}{2}}} + 2 \ge 2\sqrt 3 \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right) \quad(**)\]

Bây giờ,sử dụng 2 hệ thức lượng giác quen thuộc sau :

• $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1$.
• $\frac{1}{\cos^2 \frac{A}{2}}=1+\tan^2 \frac{A}{2}$.

Ta biến đổi (**) về dạng :

\[\begin{array}{l}
{\tan ^2}\frac{A}{2} + {\tan ^2}\frac{B}{2} + {\tan ^2}\frac{C}{2} + 5 \ge 2\sqrt 3 \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)\\
\Leftrightarrow {\left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)^2} + 3 \ge 2\sqrt 3 \left( {\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2}} \right)
\end{array}\]

Dễ thấy BĐT cuối cùng là hệ quả của AM-GM.Kết thúc chứng minh tại đây.