Chủ đề này có 5 trả lời

[Be Strong]

$\int_{1}^{e}\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx$

[Mrnhan]

$\int_{1}^{e}\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx$

$\int\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx=-\int x(x+2lnx-2)d(\frac{1}{x+lnx})=-\frac{x(x+2lnx-2)}{x+lnx}+\int 2dx=-\frac{x(x+2lnx-2)}{x+lnx}+2x+C=\frac{x(x+2)}{x+lnx}+C$

[dark templar]

$\int_{1}^{e}\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx$

Ta tách tích phân này như sau :

\[\begin{array}{rcl}
I &=& \int\limits_1^e {\frac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{x + \ln x}}dx - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + x} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}} } dx\\
&=& \int\limits_1^e {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x + \ln x}}} - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}dx} \\
&=& \int\limits_1^e {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x + \ln x}}} + \int\limits_1^e {\left( {{x^2} + 2x} \right)d\left( {\frac{1}{{x + \ln x}}} \right)} \\
&=& \left. {\frac{{{x^2} + 2x}}{{x + \ln x}}} \right|_1^e = \frac{{e\left( {2 + e} \right)}}{{1 + e}} - 3
\end{array}\]

[Be Strong]

Ta tách tích phân này như sau :

\[\begin{array}{rcl}
I &=& \int\limits_1^e {\frac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{x + \ln x}}dx - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + x} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}} } dx\\
&=& \int\limits_1^e {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x + \ln x}}} - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}dx} \\
&=& \int\limits_1^e {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x + \ln x}}} + \int\limits_1^e {\left( {{x^2} + 2x} \right)d\left( {\frac{1}{{x + \ln x}}} \right)} \\
&=& \left. {\frac{{{x^2} + 2x}}{{x + \ln x}}} \right|_1^e = \frac{{e\left( {2 + e} \right)}}{{1 + e}} - 3
\end{array}\]

$\int\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx=-\int x(x+2lnx-2)d(\frac{1}{x+lnx})=-\frac{x(x+2lnx-2)}{x+lnx}+\int 2dx=-\frac{x(x+2lnx-2)}{x+lnx}+2x+C=\frac{x(x+2)}{x+lnx}+C$

mình chưa hiểu cách làm của các bạn lắm, làm từng bc cẩn thận cho mình hiểu vs.

[nthoangcute]

$\int_{1}^{e}\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx$

Em chém liều nè:
Ta có:
$$(1+x)(x+2 \ln x-2)=\left( 2\,x-\dfrac{2}{x} \right) \left( x+\ln x
\right) - \left( {x}^{2}-2\,\ln x \right) \left( 1+
\dfrac{1}{x} \right)
=(x^2-2 \ln x)'(x+\ln x)-(x^2-2 \ln x)(x+\ln x)'$$
Suy ra $$\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}=\dfrac{(x^2-2 \ln x)'(x+\ln x)-(x^2-2 \ln x)(x+\ln x)'}{(x+lnx)^2}=(\dfrac{x^2-2 \ln x}{x+\ln x})'$$
Suy ra $$\int_{1}^{e}\frac{(1+x)(x+2lnx-2)}{(x+lnx)^2}dx= \dfrac{x^2-2 \ln x}{x+\ln x} |^e_1=\dfrac{e^2-e-3}{e+1}$$

[dark templar]

mình chưa hiểu cách làm của các bạn lắm, làm từng bc cẩn thận cho mình hiểu vs.

Ta tách tích phân này như sau :

\[\begin{array}{rcl}
I &=& \int\limits_1^e {\frac{{2\left( {1 + x} \right)}}{{x + \ln x}}dx - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + x} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}} } dx\\
&=& \int\limits_1^e {\frac{{d\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{x + \ln x}}} - \int\limits_1^e {\frac{{\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)}}{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}dx}
\end{array}\]

Xuất phát từ công thức đạo hàm thôi mà bạn :|

$$(x^2+2x)'=2x+2$$
$$\left(\frac{1}{x+\ln x} \right)'=\frac{-\left(1+\frac{1}{x} \right)}{(x+\ln x)^2}$$

Khúc còn lại là áp dụng công thức Tích phân từng phần,chỉ là chuyển vế qua chút thôi !
\[\int\limits_a^b {udv} + \int\limits_a^b {vdu} = \left. {uv} \right|_a^b\]