1 reply to this topic

[phanquockhanh]

Cho M là một điểm nằm trong tam giác ABC.Gọi $t_{a},t_{b},t_{c}$ là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ M của các tam giác MBC,MCA,MAB,kí hiệu $R_{a},R_{b},R_{c}$ lần lượt là MA,MB,MC.Chứng minh rằng:
$t_{a}+t_{b}+t_{c}< R_{a}+R_{b}+R_{c}\leq 2\sqrt{3(t_{a}^{2}+t_{b}^{2}+t_{c}^{2})}$

Edited by phanquockhanh, 05-02-2013 - 18:21.

[dark templar]

Cho M là một điểm nằm trong tam giác ABC.Gọi $t_{a},t_{b},t_{c}$ là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ M của các tam giác MBC,MCA,MAB.Chứng minh:
$t_{a}+t_{b}+t_{c}< R_{a}+R_{b}+R_{c}\leq 2\sqrt{3(t_{a}^{2}+t_{b}^{2}+t_{c}^{2})}$

Bạn phải thêm ký hiệu cho $R_{a};R_{b};R_{c}$ nữa chứ.Nếu mình nhớ không nhầm thì $R_{a};R_{b};R_{c}$ chính là MA,MB,MC

Spoiler

Vẫn luôn ấn tượng với bài này vì một thời khốn đốn với nó.

Bằng công thức đường trung tuyến và định lý cosine,ta có :

\[\begin{array}{rcl}
2\left( {R_b^2 + R_c^2} \right) &=& 4t_a^2 + B{C^2}\\
&=& 4t_a^2 + R_b^2 + R_c^2 - 2{R_b}{R_c}\cos \left( {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} } \right)\\
\Rightarrow 4t_a^2 &=& R_b^2 + R_c^2 + 2{R_b}{R_c}\cos \left( {\overrightarrow {MB} ;\overrightarrow {MC} } \right) \quad(*) > {\left( {{R_b} + {R_c}} \right)^2}\\
\Rightarrow 2{t_a} &>& {R_b} + {R_c}
\end{array}\]

Xây dựng các cặp BĐT tương tự rồi cộng lại,ta sẽ có BĐT vế trái.

Việc còn lại là chứng minh $R_{a}+R_{b}+R_{c} \le 2\sqrt{3(t_{a}^2+t_{b}^2+t_{c}^2)}$.

Xét 1 đẳng thức vec-tơ quen thuộc sau :

\[\begin{array}{rcl}
{\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)^2} &=& R_a^2 + R_b^2 + R_c^2 + 2\sum\limits_{a,b,c} {{R_a}{R_b}\cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} \ge 0\\
\Rightarrow 2\sum\limits_{a,b,c} {{R_a}{R_b}\cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} &\ge& - \left( {R_a^2 + R_b^2 + R_c^2} \right)
\end{array}\]

Mặt khác,từ (*) ,kết hợp với BĐT trên và BĐT Cauchy-Schwarz,ta xây dựng được :

\[\begin{array}{rcl}
4\left( {t_a^2 + t_b^2 + t_c^2} \right) &=& 2\left( {R_a^2 + R_b^2 + R_c^2} \right) + 2\sum\limits_{a,b,c} {{R_a}{R_b}\cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right)} \\
&\ge& 2\left( {R_a^2 + R_b^2 + R_c^2} \right) - \left( {R_a^2 + R_b^2 + R_c^2} \right) = R_a^2 + R_b^2 + R_c^2\\
&\ge& \frac{{{{\left( {{R_a} + {R_b} + {R_c}} \right)}^2}}}{3}\\
\Rightarrow {R_a} + {R_b} + {R_c} &\le& 2\sqrt {3\left( {t_a^2 + t_b^2 + t_c^2} \right)}
\end{array}\]