Chủ đề này có 2 trả lời

[banhgaongonngon]

Giải hệ bất phương trình sau trên tập $\mathbb{R}^{+}$:

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3\\ \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 07-02-2013 - 13:48

[mrjackass]

Giải hệ phương trình sau trên tập $\mathbb{R}^{+}$:

$\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3\\ \frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c) \end{matrix}\right.$

Đề kiểu này dễ đoán hướng làm quá.
Đặt $P=\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$
Theo C-S: $a+b+c \leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)} \leq 3$
Do vai trò $a;b;c$ tương đương nên giả sử $a \geq b \geq c$. Khi đó thì $\frac{1}{\sqrt{b+c}} \geq \frac{1}{\sqrt{c+a}} \geq \frac{1}{\sqrt{a+b}}$
Áp dụng BĐT Chebyshev, AM - GM và đánh giá $a+b+c \leq 3$:
$3P \geq (a+b+c)(\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}})\geq(a+b+c)(\frac{3}{\sqrt{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}})\geq (a+b+c)(\frac{3}{\sqrt{\frac{2(a+b+c)}{3}}})\geq (a+b+c)\frac{3}{\sqrt{2}} \iff P \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$
Tuy nhiên theo hệ phương trình: $ P \leq \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$. Do đó $ P = \frac{\sqrt{2}}{2}(a+b+c)$
Dấu bằng phải xảy ra ở các đánh giá trên để thỏa mãn, tức là $a=b=c=1$
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất $(a;b;c)$ là $(1;1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mrjackass: 07-02-2013 - 12:11

[dinhthanhhung]

Cách 2 : dùng Cauchy-Swarz và Cauchy :
$\sqrt{(b+c).2}\leq \frac{b+c+2}{2}$
$$\sum \frac{a^{2}}{2a\sqrt{(b+c).2}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2\sum ab+ac+a} \geq \frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+3}$
Cần CM : $\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+3}\geq \frac{a+b+c}{4}$
Đặt :$a+b+c=x$
$\frac{x^{2}}{x+3}\geq\frac{x}{4}\Leftrightarrow x^{2}-4x+3\leq 0\Leftrightarrow (x-1)(x-3)\leq 0$
Điều này đúng theo gt : $\sum a^{2}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 07-02-2013 - 21:36