1 reply to this topic

[25 minutes]

Cho các số không âm thỏa mãn $a+b+c+d=1$
Chứng minh rằng: $a^3b+b^3c+c^3d+d^3a< \frac{4}{27}$
P/S: Mình thấy bài toán tương tự là đề thi HN nhưng với 3 biến, tình cờ tìm thấy bài toán tổng quát trên Mathlinks. Ai có thời gian rảnh thì làm bài khai xuân
Cho $n$ số không âm $a_1,a_2,a_3,...a_n$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}a_i=1$
Chứng minh rằng $a_1^{n-1}a_2+a_{2}^{n-1}a_3+...+a_n^{n-1}a_1< \frac{4}{27}$ ?

[Math Is Love]

Cho các số không âm thỏa mãn $a+b+c+d=1$
Chứng minh rằng: $a^3b+b^3c+c^3d+d^3a< \frac{4}{27}$
P/S: Mình thấy bài toán tương tự là đề thi HN nhưng với 3 biến, tình cờ tìm thấy bài toán tổng quát trên Mathlinks. Ai có thời gian rảnh thì làm bài khai xuân
Cho $n$ số không âm $a_1,a_2,a_3,...a_n$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}a_i=1$
Chứng minh rằng $a_1^{n-1}a_2+a_{2}^{n-1}a_3+...+a_n^{n-1}a_1< \frac{4}{27}$ ?

Với $n=1;2;3$ thì đã biết cách giải.
Ta sẽ chứng minh với $n\geq 4$.
Vì $\sum _{i=1}^na_i=1$ mà $a_i \geq 0$ $i=\overline{1;n}$ nên
$a_i \leq 1$ $i=\overline{1;n}$.
Và vì $n-1 \geq 3$ nên ta sẽ chứng minh BĐT mạnh hơn là:
$\sum a_1^2a_2 \leq \frac{4}{27}$
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với $n=3$,ta cần chứng minh:
$a_1^2a_2+a_2^2a_3+a_3^2a_1\leq\frac{4}{27}$ với $a_1+a_2+a_3=1$
Không mất tính tổng quát,giả sử $a_2$ là số nằm giữa.
$\Rightarrow (a_1-a_2)(a_3-a_2)\leq 0\Rightarrow a_1a_3+a_2^2\leq a_2a_1+a_2a_3$
$\Rightarrow a_1a_3^2+a_2^2a_3\leq a_3a_2a_1+a_2a_3^2$
$\Rightarrow a_1a_3^2+a_2^2a_3+a_1^2a_2\leq a_3a_2a_1+a_2a_3^2+a_1^2a_2$
$\Rightarrow a_1a_3^2+a_2^2a_3+a_1^2a_2\leq a_2(a_1^2+a_3^2+a_1a_3)$
$\Rightarrow a_1a_3^2+a_2^2a_3+a_1^2a_2\leq a_2(a_1+a_3)^2$
Áp dụng BĐT $AM-GM$,ta có:
$a_2(a_1+a_3)^2=\frac{1}{2}.2a_2.(a_1+a_3)(a_1+a_3)\leq \frac{1}{2}[\frac{2(a_1+a_2+a_3)}{3}]^3=\frac{4}{27}$
Vậy với $n=3$ thì BĐT luôn đúng. Dấu $"="$ khi $a_1=0;a_2=\frac{1}{3};a_3=\frac{2}{3}$ hoặc $a_3=0;a_2=\frac{1}{3};a_1=\frac{2}{3}$.
Giả sử BĐT đúng tới $n=k-1$. Không mất tính tổng quát,đặt $a_1=\min\left \{ a_1;...;a_k \right \}$
Đặt $a_{12}=a_1+a_2$
Khi đó,vì BĐT đúng tới $k-1$ nên:
$(a_1+a_2)^2a_3+...+a_k^2(a_1+a_2)\leq\frac{4}{27}$ với $\sum _{i=1}^ka_i=1$
Ta sẽ chứng minh:
$\sum a_1^2a_2\leq \frac{4}{27}$.
Kết hợp giả thiết quy nạp,ta sẽ cần phải chứng minh:
$$a_1^2a_2+a_2^2a_3+a_n^2a_1\leq a_n^2a_1+a_n^2a_2+a_a^2a_3+a_2^2a_3+2a_1a_2a_3$$
$\Leftrightarrow a_1^2a_2\leq 2a_1a_2a_3+a_k^2a_2+a_1^2a_3$
BĐT này luôn đúng do $a_1\leq a_k$.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a_1=a_k=0$.
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn. $\blacksquare$
_________________
Gần 1 tiếng làm post lên thì bác Quân bảo có đứa làm rồi! Hic! Các bác thông cảm,em không nhái bản quyền đâu! =.="

Edited by doxuantung97, 18-02-2013 - 22:14.