cho đường tròn (O) đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB.từ D kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, lấy H thuộc d. gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AH,BH với (O). chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định
chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định
Bắt đầu bởi believe myself, 11-02-2013 - 14:46
#1
Đã gửi 11-02-2013 - 14:46
#2
Đã gửi 12-02-2013 - 01:46
cho đường tròn (O) đường kính AB. D là một điểm cố định thuộc AB.từ D kẻ đường thẳng d vuông góc với AB, lấy H thuộc d. gọi P,Q lần lượt là giao điểm của AH,BH với (O). chứng minh PQ luôn đi qua điểm cố định
Kéo dài $PQ$ cắt $AB$ tại $K$.
Trước hết, dễ có $HD,AQ,BP$ đồng quy tại $I$ (trên hình mình kí hiệu nhầm $A \equiv H$ nhé, phía trên á).
Vậy theo $\text{Ceva}$, ta có:
$\dfrac{AD}{DB} \cdot \dfrac{BQ}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{QB}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = \dfrac{DB}{AD}$
Mặt khác, áp dụng định lý $\text{Menelaus}$ vào $\triangle HAB$ với cát tuyến $\overline{PQK}$ thì ta có:
$\dfrac{AK}{BK} \cdot \dfrac{QB}{QA} \cdot \dfrac{PH}{PA} = 1$
$\Rightarrow \dfrac{AK}{BK} = \dfrac{AD}{DB}$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{BK} = \dfrac{AD-DB}{DB}$, không đổi do $D$ cố định.
Vậy $BK$ không đối, hay $K$ cố định, đpcm!
- WhjteShadow và caybutbixanh thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh