Chủ đề này có 1 trả lời

[maruco123]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao BE,CF lần lượt cắt đường tròn (O) tại E' và F'.
a, CM 4 điểm B,C,E,F cùng thuộc 1 đường tròn.
b, CM EF song song E'F'
c, cho B,C cố định, A chuyển động trên cung lớn BC của (O). CM bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn không đổi khi A chuyển động trên cung lớn BC.

[mathprovn]

a) Tự chứng minh.
b) Gọi H là trực tâm của $\Delta ABC$.
$\widehat{BHF'} = \widehat{FAE}$ (cùng bù với $\widehat{FHE})$
mà $\widehat{BF'H} = \widehat{FAE}$ (cùng chắn cung BC)
suy ra: $\widehat{BF'H} = \widehat{BHF'} \Rightarrow \Delta BHF' $cân tại B
Suy ra F là trung điểm của HF'.
Tương tự E là trung điểm của HE'.
Do đó EF là đường trung bình của $\Delta HE'F'$. Vậy EF // E'F'.
c) Kẻ đường kính AD. Ta chứng minh được BHCD là hình bình hành. Suy ra hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.
Suy ra OI là đường trung bình của $\Delta ADH$. Suy ra: $AH = 2 OI$ và OI vuông góc với BC.
Đặt $\widehat{BAC} = \alpha$ = const. Khi đó: $\widehat{BOI} = \widehat{BAC} = \alpha$ (cùng bằng $\frac{1}{2} \widehat{BOC}$)
Trong tam giác vuông BOI có: $OI = BI. cot\alpha = \frac{BC.cot\alpha}{2}$
Do tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn đường kính AH nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF là $\frac{1}{2}AH = OI =\frac{BC.cot\alpha}{2}$=const