Chủ đề này có 1 trả lời

[tiendatlhp]

Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì trong mặt phẳng tam giác ABC. Gọi B', C' lần lượt là điểm đối xứng với P qua AC, AB ; E,F lần lượt là hình chiếu của P trên AC, AB. Gọi X là giao điểm khác A của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C' và đường tròn đường kính AP. Chứng minh rằng PEXF là tứ giác điều hòa.

[ilovemath97]

Cho tam giác ABC, P là điểm bất kì trong mặt phẳng tam giác ABC. Gọi B', C' lần lượt là điểm đối xứng với P qua AC, AB ; E,F lần lượt là hình chiếu của P trên AC, AB. Gọi X là giao điểm khác A của đường tròn ngoại tiếp tam giác AB'C' và đường tròn đường kính AP. Chứng minh rằng PEXF là tứ giác điều hòa.

Bài này để mấy ngày ko ai giải thì mình giải vậy, dù sao cũng lâu rồi ko post bài
Cách 1: Gọi $S$ là giao điểm của $AC$ và $(AB'C')$
$K$ là giao điểm của $AB$ và $(AB'C')$
Nối $KX, SX$.

Để c/m $PEXF$ là tứ giác điều hòa, ta c/m $\frac{FX}{EX}=\frac{FP}{EP}$ $(***)$

Thật vậy, để ý $\Delta KFP$ đồng dạng $\Delta SEP$(g.g) là bởi chúng đều có góc vuông và cung $AC'=AB'$

Điều đó cho ta $\frac{FP}{EP}=\frac{KF}{SE}$ $(*)$

Mặt khác thì $\angle FKX=\angle ESX$ (chắn cung $AX$)
Và $\angle XFK=\angle XES$ (là vì $\angle AFX=\angle AEX$)

Vì thế $\Delta FKX$ đồng dạng $\Delta ESX$ (g.g)

Lúc này, $\frac{FX}{EX}=\frac{KF}{SE}$ $(**)$

Từ $(*)$ và $(**)$, ta suy ra $\frac{FX}{EX}=\frac{FP}{EP}$
Điều đó nghĩa là $(***)$ được giải quyết, suy ra $PEXF$ là tứ giác điều hòa

Cách 2: Mệt (dùng trục đẳng phương, nói chung lời giải cũng đẹp nhưng dài dòng hơn cách 1)

Hình gửi kèm

•