Áp dụng định lý Pytago ta được:
$EF=\sqrt{AE^{2}+AF^{2}};FG=\sqrt{FB^{2}+BG^{2}};GH=\sqrt{GC^{2}+CH^{2}};HE=\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH$ là $\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}$
Áp dụng BĐT Mincowski ta được:
$\sqrt{AE^{2}+AF^{2}}+\sqrt{GB^{2}+BF^{2}}+\sqrt{GC^{2}+CH^{2}}+\sqrt{DE^{2}+DH^{2}}\geq \sqrt{(AE+DE+GB+GC)^{2}+(AF+FB+CH+DH)^{2}}$
Suy ra chu vi $EFGH\geq \sqrt{(AD+BC)^{2}+(AB+CD)^{2}}$
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{AE}{AF}=\frac{BG}{BF}=\frac{CG}{CH}=\frac{DE}{DH}$
Khi đó $\Delta AEF\sim \Delta BGF\sim \Delta CGH\sim \Delta DEH$
suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{BFG}=\widehat{CHG}=\widehat{DHE}$ và $\widehat{AEF}=\widehat{DEH}=\widehat{CGH}=\widehat{BGF}$
Từ đây suy ra $\left\{\begin{matrix} \widehat{FGH}=\widehat{FEH} & \\ \widehat{EFG}=\widehat{EHG}& \end{matrix}\right.$
Suy ra $EFGH$ là hình bình hành.
Vậy $F,G,H$ ở vị trí trên lần lượt $AB,BC,CD$ sao cho $EFGH$ là hình bình hành thì chu vi $EFGH$ nhỏ nhất.
________________
@Joker: Lời giải đúng
d=10
S = 3*10 = 30
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 01-03-2013 - 16:32
Chấm bài