Chủ đề này có 6 trả lời

[laiducthang98]

cho (a+b)(b+c)(c+a)=abc
$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$ .Chứng minh tích abc=0

[BoFaKe]

cho (a+b)(b+c)(c+a)=abc
$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$ .Chứng minh tích abc=0

$$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc=0 \vee (a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$$
Ta có :
$$a^{2}-ab+b^{2}\geq ab $$
$$b^{2}-bc+c^{2}\geq bc $$
$$c^{2}-ac+c^{2}\geq ac$$.
Nhân 3 cái trên lại ta có $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}$
Dầu bằng xảy ra khi $a=b=c$,thay vào giả thiết ta được $abc=0$ (Thay cả 2 giả thiết đấy )
Vậy $abc=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 15-02-2013 - 16:49

[laiducthang98]

$$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc=0 \vee (a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$$
Ta có :
$$a^{2}-ab+b^{2}\geq ab $$
$$b^{2}-bc+c^{2}\geq bc $$
$$c^{2}-ac+c^{2}\geq ac$$.
Nhân 3 cái trên lại ta có $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}$
Nhưng do dấu bằng không xảy ra nên loại.(Cái này là kết hợp giả thiết nữa )
Vậy $abc=0$.

Từ chỗ đó e bắt đầu hơi khó hiểu anh ( chị) có thể giảng lại đc k ạ

[BoFaKe]

Từ chỗ đó e bắt đầu hơi khó hiểu anh ( chị) có thể giảng lại đc k ạ

Từ dòng nào cơ
Đoạn 4 dòng đầu chỉ là biến đổi tương đương kết hợp giả thiết thôi,còn từ mấy cái sau thì do:
$(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-ab+b^{2}\geq ab$
Tương tự rồi nhân lại ta sẽ có cái dưới.
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.rồi tiếp tục

cái dòng abc=0 V $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$ e k hiểu j cả
a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ac+a2)=a2b2c
2

À,cái đó là kí hiệu của ''hoặc'' ấy em,nghĩa là xảy ra 1 trong 2,cái đó tương đương cái móc vuông ở trường các cô hay dạy đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 15-02-2013 - 17:24

[laiducthang98]

cái dòng abc=0 V $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$ e k hiểu j cả
a2−ab+b2)(b2−bc+c2)(c2−ac+a2)=a2b2c
2

[mrjackass]

$$(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})=a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})= a^{3}b^{3}c^{3}$$
$$\Leftrightarrow abc=0 \vee (a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+a^{2})=a^{2}b^{2}c^{2}$$
Ta có :
$$a^{2}-ab+b^{2}\geq ab $$
$$b^{2}-bc+c^{2}\geq bc $$
$$c^{2}-ac+c^{2}\geq ac$$.
Nhân 3 cái trên lại ta có $(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ac+c^{2})\geq a^{2}b^{2}c^{2}$
Dầu bằng xảy ra khi $a=b=c$,thay vào giả thiết ta được $abc=0$ (Thay cả 2 giả thiết đấy )
Vậy $abc=0$.

$ab, bc, ca$ dương chưa mà bác nhân 3 BĐT đấy với nhau tự nhiên thế =)) [Trước đi học thêm làm bài này em cx sai như vậy ]
Thật ra cần đánh giá chặt hơn: $a^2-ab+b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2}-ab \geq 2|ab|-|ab|=|ab|$
Làm 2 cái tương tự rồi nhân vào với nhau mới được

[BoFaKe]

$ab, bc, ca$ dương chưa mà bác nhân 3 BĐT đấy với nhau tự nhiên thế =)) [Trước đi học thêm làm bài này em cx sai như vậy ]
Thật ra cần đánh giá chặt hơn: $a^2-ab+b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2}-ab \geq 2|ab|-|ab|=|ab|$
Làm 2 cái tương tự rồi nhân vào với nhau mới được

Nói vậy chứ có vậy đâu ,Thật ra là cái $a^{2}-ab+b^{2}= (a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3b^{2}}{a}\geq 0$,là không âm rồi,nên nhân toàn bộ vế trái lại nó không đổi chiều,với lại dù $a,b,c$ dương hay âm ta đều có cái đó mà(âm lại càng tốt hơn ),bởi vì $a^2-ab+b^2 \geq 2\sqrt{a^2b^2}-ab \geq 2|ab|-|ab|=|ab|\geq ab$
---------------------------------------------
P/S:Cái của bạn là dùng AM-GM,còn mình là từ $(a-b)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a^{2}-ab+b^{2}\geq ab$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BoFaKe: 17-02-2013 - 06:52