Chủ đề này có 1 trả lời

[Phanh]

Cho 2 phương trình
$x^{2}+3x+2S$$= 0$
$x^{2}+6x+5S$= 0$
Tìm tất cả các giá trị của S để mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có một nghiệm của phương trình kia.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanh: 20-02-2013 - 21:16

[mathprovn]

Giả sử phương trình $x^2 + 3x + 2S = 0$ (1) có 2 nghiệm $x_1 < x_2$
Phương trình $x^2 + 6x + 5S = 0$ (2) có 2 nghiệm $x_3 < x_4$.
Điều kiện (1) có nghiệm là $ S < \frac{9}{8}$
Điều kiện (2) có nghiệm là $ S <\frac{9}{5}$
Suy ra: $ S < \frac{9}{8}$ (*)
Theo định li Viète, $x_1 + x_2 = - 3; x_1x_2 = 2S; x_3 + x_4 = - 6; x_3x_4 = 5S$
Theo đề bài: $x_1 < x_3 < x_2 < x_4 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
(x_1 - x_3)(x_2 - x_3) < 0 (3)\\
(x_1 - x_4)(x_2 - x_4) > 0 (4)
\end{matrix}\right.$
Từ (3) ta có: $x_3^2 - (x_1 + x_2) + x_1x_2 < 0 \Rightarrow x_3^2 + 3x_3 + 2S < 0$
$ \Leftrightarrow 3x_3^2 + 9x_3 + 6S < 0 \Leftrightarrow 2x_3^2 + 4x_3 + x_3^2 + 5x_3 + 6S < 0 \Leftrightarrow x_3^2 + 2x_3 < 0 (5)$
Tương tự từ (4) suy ra: $x_4^2 + 2x_4 > 0 (6)$
Từ (5), (6) suy ra: $(x_3^2 + 2x_3)(x_4^2 + 2x_4) < 0 $
Biến đổi, kết hợp hệ thức Viète, ta được: $5S^2 - 8S < 0 \Leftrightarrow 0 < S < \frac{8}{5}$ (**)
(*), (**) suy ra: $ 0 < S < \frac{9}{8}$