Chủ đề này có 10 trả lời

[vinh1712]

Cho a,b,c dương và abc=1
Tìm Max $\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

[dark templar]

Cho a,b,c dương và abc=1
Tìm Max $\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

Gợi ý :

• Chứng minh bằng đạo hàm :$\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}\ln x \le 0 \quad \forall x>0$.
• Để ý là với $abc=1$ thì $\ln a+\ln b+\ln c=0$.

[nguyen phat tai]

Cho a,b,c dương và abc=1
Tìm Max $\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c}$

đã xóa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen phat tai: 26-02-2013 - 12:36

[vinh1712]

$\frac{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{b^{2}+1}+\sqrt{c^{2}+1}}{a+b+c} = \frac{\sum\sqrt{2a(a+bc)}}{\sqrt2(a+b+c)}\leq\frac{3(a+b+c)+(ab+bc+ca)}{2\sqrt2(a+b+c)}\leq \frac{4(a+b+c)}{2\sqrt2(a+b+c)}=\sqrt2$
$Max=\sqrt2 \leftrightarrow a=b=c=1$

cho em hỏi làm sao chứng minh được $ab+bc+ca\leqslant a+b+c$

[dark templar]

cho em hỏi làm sao chứng minh được $ab+bc+ca\leqslant a+b+c$

Thực chất là BĐT này sai vì nếu thay $(a;b;c) \to \left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right)$ thì sẽ có $ab+bc+ca \ge a+b+c$,mâu thuẫn !

[vinh1712]

Thực chất là BĐT này sai vì nếu thay $(a;b;c) \to \left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \right)$ thì sẽ có $ab+bc+ca \ge a+b+c$,mâu thuẫn !

thế là anh nguyen phat tai làm sai à

@Dark templar:Hiển nhiên rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 25-02-2013 - 21:23

[duong vi tuan]

Gợi ý :

• Chứng minh bằng đạo hàm :$\sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}\ln x \le 0 \quad \forall x>0$.
• Để ý là với $abc=1$ thì $\ln a+\ln b+\ln c=0$.

sao bạn tìm ra được hàm này vậy ?

[Joker9999]

sao bạn tìm ra được hàm này vậy ?

Đây là ý tưởng cũ rồi bạn, dùng The Hyberbolic Functional Techique
Nhận thấy đạt giá trị lớn nhất tại $x=y=z=1$ nên ta cần chứng minh: $\sum \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{2}(x+y+z)$
Nếu $x+y+z=3$ thì tìm $g(x)=k(x-1)$ còn $xyz=1$ thì $g(x)=ln x$ lí do là khi cộng vào ta được bằng $0$. Cần tìm $k$ sao cho $\sqrt{x^2+1}\leq 2\sqrt{x}+k\ln x$, dễ có $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Xét hàm $f(x)=\sqrt{x^2+1}- 2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln$

$f'(x)=\frac{(1-x)(1-x+2x^2+2x^2\sqrt{2(1+x^2)})}{x\sqrt{2(x^2+1)(\sqrt{2}x^2+\sqrt{x^2+1})}}$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ và dễ có: $f(x)\geq f(1)=0$ hay $\sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln x$
Thiết lập các BDT tương tự có đpcm.

[duong vi tuan]

Đây là ý tưởng cũ rồi bạn, dùng The Hyberbolic Functional Techique

Cảm ơn bạn nhiều nha - Đường Vĩ tuấn ko biết điều này - .

[nguyen phat tai]

Cảm ơn bạn nhiều nha - Đường Vĩ tuấn ko biết điều này - .

ax, sorry mấy bạn, hôm qua xem không kĩ

[vinh1712]

Đây là ý tưởng cũ rồi bạn, dùng The Hyberbolic Functional Techique
Nhận thấy đạt giá trị lớn nhất tại $x=y=z=1$ nên ta cần chứng minh: $\sum \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{2}(x+y+z)$
Nếu $x+y+z=3$ thì tìm $g(x)=k(x-1)$ còn $xyz=1$ thì $g(x)=ln x$ lí do là khi cộng vào ta được bằng $0$. Cần tìm $k$ sao cho $\sqrt{x^2+1}\leq 2\sqrt{x}+k\ln x$, dễ có $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Xét hàm $f(x)=\sqrt{x^2+1}- 2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\ln$

$f'(x)=\frac{(1-x)(1-x+2x^2+2x^2\sqrt{2(1+x^2)})}{x\sqrt{2(x^2+1)(\sqrt{2}x^2+\sqrt{x^2+1})}}$

$f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ và dễ có: $f(x)\geq f(1)=0$ hay $\sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{2}x+\frac{1}{\sqrt{2}}\ln x$
Thiết lập các BDT tương tự có đpcm.

chẹp chẹp, em mới học lớp 10, chưa biết vụ lnx +lny+lnz=0