Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Started By caokhanh97, 23-02-2013 - 19:05
#1
Posted 23-02-2013 - 19:05
C.K
#2
Posted 23-02-2013 - 19:23
Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Lời giải
$\sum \dfrac{a^2+bc}{b+c} \ge \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+bc+ac+ab}{b+c} \ge 2 \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c} \ge 2 \sum a$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x} \ge \sum x$
$\Leftrightarrow \sum yz^2 \ge xyz(x+y+z)$
Đúng theo $AM-GM$
#3
Posted 23-02-2013 - 19:38
Cho a,b,c > 0. Cmr : $\sum \frac{a^{2}+bc}{b+c} \geq \sum a$
Ta có : $\sum \frac{a^2+bc}{b+c}- \sum a=\sum \frac{a^2+bc-ab-ac}{b+c}= \sum \frac{(a-b)(a-c)}{b+c}$Lời giải
$\sum \dfrac{a^2+bc}{b+c} \ge \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a^2+bc+ac+ab}{b+c} \ge 2 \sum a$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{(a+b)(a+c)}{b+c} \ge 2 \sum a$
Đặt $x=b+c;y=a+c;z=a+b$
BĐT$\Leftrightarrow \sum \dfrac{yz}{x} \ge \sum x$
$\Leftrightarrow \sum yz^2 \ge xyz(x+y+z)$
Đúng theo $AM-GM$
Áp dụng bất đẳng thức Schur suyôngj ta có ngay đpcm ?
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users