Chủ đề này có 4 trả lời

[IloveMaths]

cho a,b,c > 0 và $a^3+b^3+c^3=3$

CM:

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^3+8}}\leqslant 1$

[25 minutes]

cho a,b,c > 0 và $a^3+b^3+c^3=3$

CM:

$\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^3+8}}\leqslant 1$

Đặt $P=\sum \frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}$
Áp dụng bđt B.C.S ta có
$P^2\leq (a+b+c)(\frac{a^3}{a^3+8}+\frac{b^3}{c^3+8}+\frac{c^3}{a^3+8})=(a+b+c).Q$
Theo AM-GM ta có
$a^3+1+1 \geq 3a\Rightarrow \sum a^3+6 \geq 3\sum a\Rightarrow a+b+c \leq 3$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $Q\leq \frac{1}{3}$
Chuyển $(a^3,b^3,c^3)\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow x+y+z=3$
Va bđt cần chứng minh trở thành
$\frac{x}{y+8}+\frac{y}{z+8}+\frac{z}{x+8}\leq \frac{1}{3}$, với $x+y+z=3$
$\Leftrightarrow 3\sum x(y+8)(z+8)\leq \prod (x+8)$
$\Leftrightarrow 9xyz+48 \sum xy+192 \sum x \leq xyz+512+ 64 \sum x + 8 \sum xy$
$\Leftrightarrow 8xyz+40 \sum xy \leq 128$
Nhưng bất đẳng thức luôn đúng theo AM-GM : $8xyz\leq 8(\frac{x+y+z}{3})^3=8,40 \sum xy \leq \frac{40}{3}(x+y+z)^2=120$
Vậy ta có đpcm ?

[dtvanbinh]

mình thử jensen xem sao

Theo AM-GM
$a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}\Leftrightarrow a^{3}+8\geq \frac{3}{2}(a^{2}+5)$
ta có
VT$\leq \sqrt{\frac{2}{3}}\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+5}}$
xét hàm $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+5}}$
$f'(x)=\frac{x+10}{2(x+5)\sqrt{x+5}}$
$f''(x)=\frac{1}{2}(x+5)^{\frac{-5}{2}}(\frac{-x}{2}-10)\leq 0$
nên $f(x)$ là hàm lõm trên (0;1)
Theo bất đẳng thức Jensen ta có
$f(a^{2})+f(b^{2})+f(c^{2})\leq 3f(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3})=\frac{3}{\sqrt{6}}$
Vậy VT$\leq 1$ ta có đpcm

[tran thanh binh dv class]

mình thử jensen xem sao

Theo AM-GM
$a^{3}+a^{3}+1\geq 3a^{2}\Leftrightarrow a^{3}+8\geq \frac{3}{2}(a^{2}+5)$
ta có
VT$\leq \sqrt{\frac{2}{3}}\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+5}}$ *******
xét hàm $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x+5}}$
$f'(x)=\frac{x+10}{2(x+5)\sqrt{x+5}}$
$f''(x)=\frac{1}{2}(x+5)^{\frac{-5}{2}}(\frac{-x}{2}-10)\leq 0$
nên $f(x)$ là hàm lõm trên (0;1)
Theo bất đẳng thức Jensen ta có
$f(a^{2})+f(b^{2})+f(c^{2})\leq 3f(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3})=\frac{3}{\sqrt{6}}$
Vậy VT$\leq 1$ ta có đpcm

Chỗ **** khó hiểu thế anh? Phải là VT$\leq \sqrt{\frac{2}{3}}\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{b^{2}+5}}$ chứ nhỉ?
Nếu thế thì đâu có cùng biến để sử dụng jensen ???

[dtvanbinh]

Chỗ **** khó hiểu thế anh? Phải là VT$\leq \sqrt{\frac{2}{3}}\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{b^{2}+5}}$ chứ nhỉ?
Nếu thế thì đâu có cùng biến để sử dụng jensen ???

anh ngu rồi hoa mắt