http://www.math.leid...5/pdf/yadav.pdf
Do trình độ "Inh lích sờ" và toán kém cỏi nên rất mong được mọi người chỉnh sửa dùm
----------------------------------------
Bài toán không gian con bất biến ( kgcbb ) là câu hỏi đơn giản :" Phải chăng mọi toán tử liên tục ( ttlt ) T trên 1 kg Hilbert phức đều có một kgcbb không tầm thường (kgcbbktt ) ?" . "Bất biến " có nghĩa là T ánh xạ nó vào chính nó còn "Không gian con không tầm thường (ktt)" có nghĩa là không gian con đóng khác {0} và khác H . Bài toán phát biểu tuy đơn giản nhưng đến nay vẫn còn để ngỏ . Trong trường hợp tổng quát cho các kg Banach , câu trả lời là không . Cũng có một số lớp các ttlt trên kg Hilbert mà đối với chúng , câu trả lời là có ( dĩ nhiên 1 lớp không có nghĩa là tất cả -ND).
Tôi không rõ ai là người đưa ra bài toán (1) . Có lẽ nó xuất hiện sau kết quả cơ bản của Beurling công bố trên Acta . Math năm 1949 về kgcbb của các phép dịch chuyển đơn ( simple shifts) hoặc sau công trình ( không công bố ) của V.Neumann về các toán tử compact .
Lịch sử bài toán
Cho H là một kg Hilbert phức và T là 1 ttlt trên H . Một giá trị riêng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lamb của T xác định một kgcbb của T , đó là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\lamb thì mọi kg con là kgcbb ) . Tuy nhiên , không phải ttlt nào cũng có giá trị riêng . Ví dụ , toán tử dịch chuyển trênhttp://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Tx=(0,x_1,x_2,..)
với mỗi vector
Trong cuộc họp thường niên của hội toán học Mỹ ở Toronto năm 1976 , nhà toán học trẻ tuổi người Thụy Điển là Per Enflo đã công bố sự tồn tại của một kg Banach và một ttlt trên nó không có kgcbbktt . Khi đó , ông đang ở thăm trường đại học tổng hợp California ở Berkerley . Nhưng mãi đến năm 1981 , ông mới gửi kết quả này đến tạp chí Acta.Math . Điều đáng tiếc là bài báo đã "được" thẩm định trong hơn 5 năm , mặc dù bản viết tay đã lưu hành rộng rãi trong giới toán học . Theo những người thẩm định , điều này xảy ra là vì bài báo quá khó và trình bày không tốt . Việc thẩm định kết thúc vào năm 1985 và được công bố năm 1987 với một vài sự chỉnh sửa nhỏ nhặt . Tuy nhiên , ông đã trình bày phản ví dụ của mình ở " Xêmina Maurey-Schwarz" ( 195-76) và sau đó là ở học viện Mittag-Leffler ( 1980 )
Trong thời gian này , C.J.Read , theo ý tưởng của Enflo , cũng xây dựng được một phản ví dụ và gửi đến tạp chí Bulletin của hội toán học Luân Đôn . Bài báo nhanh chóng được thẩm đinh và công bố năm 1984 , sau khi đã nhảy cóc qua một dãy những công việc tuần tự . Read cũng đã thu gọn lại chứng minh này và công bố năm 1986 . Ông cũng xây dựng được một ttlt trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 không có kgcbbktt .
Read rất muốn vượt qua Enflo như là người đầu tiên giải quyết bài toán , và nhiều nhà toán học đã đánh giá không công bằng ( với Enflo -ND ) (3) . Nói riêng , cm của Read đã dựa trên các ý tưởng của Enflo . Một vd , nhà toán học Pháp Beauzamy , sau khi phát triển thêm ( sharpen) các kĩ thuật của Enflo cũng đã xây dựng được một vd . Ông trình bày nó tại "xêmina giải tích hàm" của trường đại học Paris 6-7 vào tháng 2 năm 1984 . Nhưng ông đã từ chối công bố kết quả trên Bulletin của hội toán học Luân Đôn , mặc dù các biên tập viên đã gợi ý ông sẽ có sự thuận lợi như Read . Bài báo của Beauzamy công bố muộn hơn vào năm 1985 trên tạp chí " Các phương trình tích phân và lý thuyết toán tử " .
Vd trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 đã được A.M.Davie đơn giản hóa rất nhiều . Có thể tìm thấy nó trong cuốn sách của Beauzamy xuất bản năm 1988 .
Ta không nên nghĩ răng các vd đã biết đều trực tiếp hay gián tiếp dựa trên các kĩ thuật của Enflo . Sự thực , một loạt các bài báo của Read sau bài đầu tiên năm 1984 đã tạo ra những điều sâu sắc cho bài toán . Chẳng hạn phản vd của ông về l^1 năm 1985 khá khác biệt và đơn giản hơn Enflo và có thể coi đó là một thành tựu đáng kể . Một cái khác là bài báo năm 1988 , Read đã xây dưng 1 ttlt trên http://dientuvietnam...mimetex.cgi?l^1 không có tập con đóng bất biến ( không nhất thiết là không gian con đóng ) ngoại trừ các trường hợp tầm thường . Đây không những là kết quả mạnh hơn mà nó còn đưa ra một vấn đề mới : Giả sử đến một ngày nào đó bài toán kgcbb có câu trả lời phủ định ( như trường hợp kg Banach ) , ta vẫn có thể đặt câu hỏi " Phải chăng mọi ttlt đều có tập con đóng bất biến không tầm thường "
Dựa trên các kết quả trước đó , vào năm 1997 , Read đã công bố vd về một toán tử liên tục giả lũy linh (quasinilpotent bouded operatorl) , tức là http://dientuvietnam...||T^n||^{1/n}=0 , trên kg Banach không có kgcbbktt . Kết quả đẹp đẽ này được mô tả trong [8]
(mỏi tay quá , để tối nay tiếp tục )
-------------------------------------------------
( 1) : Theo TSKH Đỗ Hồng Tân trong cuốn sách nhỏ " các đl về điểm bất động " thì Banach là người đưa ra bài toán này năm 1930 .
(2) : Đây là kết quả cơ bản của đstt năm 1 .
(3) : Câu này khá chuối , mình chỉ viết theo cách hiểu . Nguyên văn
The temptation on the part of Read to have precedence over Enflo for solving the problem was considered professionally unthical by many mathematicians . ( Read đã có phần bị lôi cuốn bời bài toán trong nỗ lực tìm kiếm lời giải tiên phong, trước Enflo, mà theo nhiều nhà toán học thì đây là một hành động không đúng với tinh thần của khoa học How is that ? )