Chủ đề này có 3 trả lời

[vuvanquya1nct]

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc$ với a, b, c là các số dương

[Oral1020]

$C_1$Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM nhé bạn
$C_2$:Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$
Do $a+b+c >0$
Ta sẽ chứng minh $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \ge 0 $
$\Longleftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \ge 0$
$\Longleftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$
$\Longrightarrow$ bất đẳng thức đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 25-02-2013 - 15:41

[nthoangcute]

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3abc$ với a, b, c là các số dương

Chuẩn hóa $abc=1$
Khi đó $\ln a+\ln b+\ln c=0$
Khi đó xét hàm $f(x)=x^3-3 ln x-1$ với $x>0$
$f'(x)= \frac{3(a-1)(a^2+a+1)}{a}$
Suy ra $f(x) \geq f(1)=0$
Suy ra $x^3 \geq 3 \ln x+1$ với mọi $x>0$
Áp dụng ta được:
$$a^3+b^3+c^3 \geq 3 (\ln a+\ln b+\ln c)+3 =3$$

[dtvanbinh]

Chuẩn hóa $abc=1$
Khi đó $\ln a+\ln b+\ln c=0$
Khi đó xét hàm $f(x)=x^3-3 ln x-1$ với $x>0$
$f'(x)= \frac{3(a-1)(a^2+a+1)}{a}$
Suy ra $f(x) \geq f(1)=0$
Suy ra $x^3 \geq 3 \ln x+1$ với mọi $x>0$
Áp dụng ta được:
$$a^3+b^3+c^3 \geq 3 (\ln a+\ln b+\ln c)+3 =3$$

trốn học chiều nay tranh thủ spam tí
chuẩn hóa $abc=1$
giả sử $a\geq b\geq c$

xét hàm
$f(a)=\frac{a^{4}}{4}+a(b^{3}+c^{3}-3)$
ta có

$f(b)=\frac{b^{4}}{4}+b(b^{3}+c^{3}-3)$

nên
$\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{(a+b)(a^{2}+b^{2})}{4}+b^{3}+c^{3}-3=g(a)$
dễ thấy $g(a)$ đồng biến nên
$g(a)\geq g(b)=2b^{3}+c^{3}-3$
theo AM-GM cho 2 số ta có
$2b^{3}+c^{3}\geq 3b^{2}c=3$

vậy ta có $\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=g(a)\geq g(b)\geq 0$
nên $f(a)$ đồng biến nên $f'(a)\geq 0$
ta có đpcm




hoặc chuẩn hóa $abc=1$
$f(a,b,c)=a^{3}+c^{3}+b^{3}-3$
$f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=2ab\sqrt{ab}+c^{3}-3$
dễ thấy theo AM-GM 2 số ta có $f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)\leq f(a,b,c)$
vậy chỉ cần chứng minh khi a=b
$f(a,a,c)=2a^{3}+c^{3}-3\geq 3a^{2}c-3=0$
ta có đpcm




2 cách này của a Đạt rất hay

Ta có
$a^{3}+b^{3}\geq 2\sqrt{a^{3}b^{3}}$
nên ta có $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \sqrt{a^{3}b^{3}}+\sqrt{b^{3}c^{3}}+\sqrt{c^{3}a^{3}}$
áp dụng điều này liên tục ta có
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \sum \sqrt[k]{a^{k+2}b^{k-1}c^{k-1}}$
cho $k\rightarrow \infty$ ta có đpcm




giả sử c nằm giữa a và b
$f(a+b+c)=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$f(a+b+c)-f(a+b-c,c,c)=3(a+b+c)(b-c)(c-a)\geq 0$
như vậy chỉ cần chứng minh khi b=c
$f(a,b,b)=(a-b)^{2}(a+2b)\geq 0$
ta có đpcm