Chủ đề này có 2 trả lời

[chinhanh9]

1. Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=3, u_{n+1}=\frac{2+u_{n}^{2}}{2u_{n}}$
2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$
b) $u_n=2\sin (n+1)-3\cos n$

[25 minutes]

1. Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=3, u_{n+1}=\frac{2+u_{n}^{2}}{2u_{n}}$
2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$
b) $u_n=2\sin (n+1)-3\cos n$

Bài 1: Dễ thấy $u_1,u_2,...u_n >0$
Hơn nữa $u_{n+1}=\frac{1}{u_n}+\frac{u_n}{2}\geq \sqrt{2}$
Ta sẽ chứng minh $u_n <3$ với mọi $n$
Dễ thấy mệnh đề đúng với $n=1,n=2$
Giả sử mệnh đề cũng đúng với $n=k$, tức là $u_k <3$ với mọi $k$
Ta sẽ phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với $n=k+1$, tức là phải chứng minh $u_{k+1}=\frac{2+u_k^2}{2u_k}< 3$ với $u_k <3$ theo giả thiết quy nạp
$\Leftrightarrow u_k^2-6u_k+2 <\Leftrightarrow (u_k-(3+\sqrt{7}))(u_k-(3-\sqrt{7}))<0$
Luôn đúng do $\left\{\begin{matrix}
u_k\geq \sqrt{2}\\ u_k <3

\end{matrix}\right.$
Do đó $u_n$ bị chặn bởi $\sqrt{2},3$ ?

[25 minutes]

1. Xét tính bị chặn của dãy số $u_{n}$ xác định bởi:
$u_{1}=3, u_{n+1}=\frac{2+u_{n}^{2}}{2u_{n}}$
2. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}$
b) $u_n=2\sin (n+1)-3\cos n$

Bài 2 ; a, Ta có $u_n=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n-1}}=\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}$
$\Rightarrow u_n-u_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}-\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n+1}}+\sqrt{2-\frac{1}{n+1}}}= (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}).(\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}+\sqrt{2+\frac{1}{n+1}}}-\frac{1}{\sqrt{2-\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n+1}}})< 0$
Vậy dãy đã cho là dãy tăng
Lại có $u_n=\frac{1}{\sqrt{2+\frac{1}{n}}+\sqrt{2-\frac{1}{n}}}< \frac{1}{1+\sqrt{3}}$
Vậy $u_n$ bị t=chặn trên bởi $\frac{1}{1+\sqrt{3}}$ ?