Chủ đề này có 1 trả lời

[duc12116]

Cho lục giác ABCDEF. Lấy M;I;Q;K;N;H là trung điểm của AB;BC;CD;DE;EF.
Chứng minh rằng hai tam giác MQN và IHK cùng trọng tâm

[Zaraki]

Lời giải. (Hình mình không nối nhiều vì sợ loạn  ).

$\blacktriangleright$ Lấy $QQ',II'$ lần lượt là trung tuyến của hai tam giác $MNQ$ và $HIK$ và $QQ'$ cắt $II'$ tại $G$.

Ta sẽ đi chứng minh $G$ là trọng tâm hai tam giác $MNQ$ và $HIK$, tức là đi chứng minh $\triangle Q'GI' \sim \triangle QGI$ theo tỉ lệ $\frac 12$. Hay ta đi chứng minh $I'Q' \parallel IQ$ và $\frac{I'Q'}{IQ}= \frac 12 \qquad (1)$.

$\blacktriangleright$ Lấy $O$ sao cho $I'$ trung điểm $NO$. Ta thấy $\triangle MON$ có $I'Q'$ là đường trung bình nên $I'Q' \parallel MO$ và $I'Q'= \dfrac 12 MO$. Ta đưa $(1)$ về việc chứng minh tứ giác $MOQI$ là hình bình hành.               $(2)$

$\blacktriangleright$ Ta thấy $I'$ là trung điểm của $HK$ và $NO$ nên $NH \parallel OK$ và $NH=OK$.

Mặt khác thì $NH \parallel AE$ và $NH= \dfrac 12 AE$ nên suy ra $OK \parallel AE$ và $OK= \frac 12 AE$.

Ta lại có $K$ trung điểm $ED$ nên $O$ trung điểm $AD$.

$\blacktriangleright$ Tam giác $ADC$ có $O,Q$ lần lượt là trung điểm $AD,DC$ nên $OQ \parallel AC$ và $OQ = \dfrac 12 AC$. Ta cũng có $MI \parallel AC$ và $MI = \dfrac 12 AC$.

Do đó $OQ=MI$ và $OQ \parallel MI$. Như vậy $(2)$ được chứng minh.

 

Như vậy, hai tam giác $MNQ$ và $HIK$ có cùng trọng tâm.