Chủ đề này có 2 trả lời

[ledinhmanh2202]

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$=2$\widehat{B}$.

Chứng minh rằng:b=acosB-bcosA.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-03-2013 - 22:57

[barcavodich]

Từ đề bài $\Rightarrow \angle B\neq 90\Rightarrow cosB\neq 0$
ta có ĐPCM$\Leftrightarrow b(1+cosA)=acosB$
$\Leftrightarrow b.2cos^2B=acosB(do\angle A=2\angle B)$
$\Leftrightarrow 2bcosB=a$
Lại có $b=2RsinB,a=2RsinA$(với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$)
nên ĐPCM$\Leftrightarrow 2sinBcosB=sinA$ đúng
$\Rightarrow$ đpcm

[ledinhmanh2202]

Làm thế này đươc không?
Gọi AD là đường phân giác $\widehat{BAC}$
Như vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác DAC.Ta có: $\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{DC}= \frac{BC}{AC}$
Đặt BD=x;DC=y. Khi đó: $\frac{c}{x}= \frac{b}{y}= \frac{a}{b}$
Như vậy bc=ax; b$^{2}$=ay.Do đó $b^{2}+cb= ax+ay$$\Rightarrow b(b+c)= a^{2}$
Theo định lí hàm số Cô-sin thì $a^{2}= b^{2}+c^{2}-2bc.cosA$
Do đó $b^{2}+c^{2}-2bc.cosA=b^{2}+bc\Leftrightarrow c=b(1+2cosA)(1)$
Mặt khác $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cosB\Rightarrow a^{2}+c^{2}-2ac.cosB=a^{2}-bc \Leftrightarrow c=2acosB-b(2)$
Từ (1) và (2) suy ra b+2bcosA=2acosB-b
$\Leftrightarrow$b=acosB-bcosA$\Rightarrow ĐPCM$