Đề Thi HSG lớp 9 Tỉnh Hà Tĩnh năm 2012-2013
#1
Posted 07-03-2013 - 16:20
a) Tính giá trị biểu thức: $M=(x-y)^{3}+3(x-y)(xy+1)$ biết
$$x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}-\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}; y=\sqrt[3]{17+12\sqrt{2}}-\sqrt[3]{17-12\sqrt{2}}$$
b) Giải phương trình :
$$\frac{2x}{x^{2}-x+1}-\frac{x}{x^{2}+x+1}=\frac{5}{3}$$
Bài 2:
a) Giải hệ phương trình :
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + 3 = 4x \\
x^3 + 12x + y^3 = 6x^2 + 9
\end{array} \right.
\]
b) Tìm các số tự nhiên $a,b,c$ phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
$$P= \frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$$
Bài 3: Tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$, các cạnh $a,b,c$ thoả mãn đẳng thức :
$$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$$
Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, gọi $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên đoạn thẳng $AD$ ($M$ không trùng $A$). Gọi $N,P$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $M$ xuống các cạnh $AB,AC$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $N$ xuống đường thẳng $PD$.
a) Chứng minh $AH$ vuông góc với $BH$
b) Đường thẳng qua $B$ song song với $AD$ cắt đường trung trực của $AB$ tại $I$. Chứng minh ba điểm $H,N,I$ thẳng hàng.
Bài 5: Các số dương $x,y,z$ thoã mãn điều kiện: $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$F=\frac{x^{4}}{(x^{2}+y^{2})(x+y)}+\frac{y^{4}}{(y^{2}+z^{2})(y+z)}+\frac{z^{4}}{(z^{2}+x^{2})(z+x)}$$
- Zaraki, C a c t u s, FillTheHoleInWall and 5 others like this
#3
Posted 07-03-2013 - 16:53
x=0 không là nghiệm $\Rightarrow \frac{2}{x+\frac{1}{x}-1}-\frac{1}{x+\frac{1}{x}+1}=\frac{5}{3}$
Đặt $x+\frac{1}{x}$=a $\Rightarrow \frac{2}{a-1}-\frac{1}{a+1}=\frac{5}{3}$
Qui đồng lên
Đến đây thì các bạn tự làm nốt
- nguyen tien dung 98, Rias Gremory and tpdtthltvp like this
#4
Posted 07-03-2013 - 18:07
Mà bạn post đề bựa qua đi thj ko đóB-)
- SLonely SilverWolf likes this
#5
Posted 08-03-2013 - 23:41
Cách 2b) Tìm các số tự nhiên $a,b,c$ phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
$$P= \frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$$
$\oplus$ Ta có $P=\dfrac{(ab-c)(bc-1)(ca-1)}{abc}=\dfrac{abc(abc-a-b-c)+(ab+bc+ca-1)}{abc}$
$\Longrightarrow$ $ab+bc+ca-1 \vdots abc$
$\oplus$ Không mất tính tổng quát, giã sữ: $a \ge b \ge c$
Ta có: $abc < b+2c \leq b+2b =3b$
$\Longrightarrow$ $c < 3$ $\Longrightarrow$ $c \in [1;2]$
$\oplus$ $\mathit{TH_1}$: $c=1$ $\Longrightarrow$ $ab+a+b-1 \vdots abc$
$\Longrightarrow$ $a+b-1 \vdots ab \Longrightarrow$ $a+b-1 \ge ab$
$\Longrightarrow$ $(a-1)(b-1) \leq 0$ $\Longrightarrow$ $a \in N^*, b =1$
$\Longrightarrow$ $P=0$
$\oplus$ $\mathit{TH_2}$ $c=2$. $\Longrightarrow$ $2ab+2a+2b-1 \vdots ab$
$\Longrightarrow$ $2a+2b-1 \ge ab$
$\Longrightarrow$ $(a-2)(b-2) \leq 3$
$\Longrightarrow$ $(a,b) \in \{ (5;3).(4;3),(3;3),(n,2)\} $ Với $n \in N^*$ và $n \ge 2$
$\Longrightarrow$ $P = \left\{ {21;\frac{{385}}{{24}};\frac{{100}}{9};n - 1 + \frac{3}{2}} \right\}$ Với $n \in N^*$ và $n \ge 2$
$\oplus$ Vậy $(a;b;c) \in \{(n;1;1),(5;3;2)\}$ và các hoán vị
Edited by tienanh1999bp, 08-03-2013 - 23:42.
- DarkBlood, nguyencuong123, Forgive Yourself and 2 others like this
$\cdot$ $( - 1) = {( - 1)^5} = {( - 1)^{2.\frac{5}{2}}} = {\left[ {{{( - 1)}^2}} \right]^{\frac{5}{2}}} = {1^{\frac{5}{2}}} =\sqrt{1}= 1$
$\cdot$ $\dfrac{0}{0}=\dfrac{100-100}{100-100}=\dfrac{10.10-10.10}{10.10-10.10}=\dfrac{10^2-10^2}{10(10-10)}=\dfrac{(10-10)(10+10)}{10(10-10)}=\dfrac{20}{10}=2$
$\cdot$ $\pi\approx 2^{5^{0,4}}-0,6-\left(\frac{0,3^{9}}{7}\right)^{0,8^{0,1}}$
$\cdot$ $ - 2 = \sqrt[3]{{ - 8}} = {( - 8)^{\frac{1}{3}}} = {( - 8)^{\frac{2}{6}}} = {\left[ {{{( - 8)}^2}} \right]^{\frac{1}{6}}} = {64^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{64}} = 2$
#6
Posted 09-03-2013 - 19:21
#7
Posted 09-03-2013 - 20:09
P/s: Mình làm bài chủ quan nên sai mất 1a, đánh mất giải nhất trong tầm tay
#8
Posted 17-03-2013 - 14:22
#9
Posted 26-03-2013 - 13:11
Bài 2:
a) Giải hệ phương trình :
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + 3 = 4x \\
x^3 + 12x + y^3 = 6x^2 + 9
\end{array} \right.
\]
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + y^2 + 3 = 4x \\
x^3 + 12x + y^3 = 6x^2 + 9
\end{array} \right.
\] $\left\{\begin{matrix} \begin{vmatrix} x^2-4x+3\\ \end{vmatrix}=y & & \\ x-3=y & & \end{matrix}\right.$ thế và giải
#10
Posted 26-03-2013 - 13:21
Ai giải hình đi
Edited by FillTheHoleInWall, 26-03-2013 - 14:27.
#11
Posted 26-03-2013 - 13:32
Bài 3: Tam giác $ABC$ có chu vi bằng $1$, các cạnh $a,b,c$ thoả mãn đẳng thức :
$$\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}$$
Chứng minh tam giác $ABC$ đều.
Giải:
Ta có $a+b+c=1$
$PT\Leftrightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{3}{2}$
mà $VT$ là Dạng của BĐT $Nesbit$ với $a,b,c > 0$
$\Rightarrow$ Xảy ra dấu $=$ $\Leftrightarrow$ $a=b=c$ $đpcm$
#12
Posted 26-03-2013 - 13:45
Bài 1 a)
Ta có $x^3=\left ( \sqrt[3]{3+2\sqrt2}- \sqrt[3]{3-2\sqrt2}\right )^3=6-3\left ( \sqrt[3]{3+2\sqrt2}- \sqrt[3]{3-2\sqrt2}\right )=6-3x$
Tương tự $y^3=\left ( \sqrt[3]{17+12\sqrt2}- \sqrt[3]{17-12\sqrt2}\right )^3=34-3\left ( \sqrt[3]{17+12\sqrt2}- \sqrt[3]{17-12\sqrt2}\right )=34-3y$
Mặt khác, ta có $M=(x-y)^3+3(x-y)(xy+1)=x^3-y^3+3(x-y)=6+34=40$
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#13
Posted 26-03-2013 - 13:56
Bài 2a)
Hệ PT tương đương $\begin{cases} (x-2)^2+y^2=1\\ (x-2)^3+y^3=1 \end{cases}$
Đây là hệ PT đối xứng loại I đối với $x-2$ và $y$.
Giải hệ này ta được
TH1: $x-2+y=1$ và $(x-2)y=0$
Trong TH này ta được $x=2;y=1$ hoặc $x=3;y=0$
Th2: $x-2+y=-2$ và $(x-2)y=\frac{3}{2}$. TH này vô nghiệm.
Vậy hệ PT có hai nghiệm là $x=2;y=1$ và $x=3;y=0$
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#14
Posted 26-03-2013 - 14:22
Bài 2b)
Ta có $P=\frac{a^2b^2c^2-a^2bc-ab^2c-abc^2+ab+bc+ca-1}{abc}$$=abc-a-b-c+\frac{ab+bc+ca-1}{abc}$
Để $P$ nguyên thì $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}$=$\frac{ab+bc+ca-1}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$ nguyên.
Ta có, $a,b$ và $c$ là các số tự nhiên khác 0 nên $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}>0$.
Và $\frac{1}{a}\le1;\frac{1}{b}\le1;\frac{1}{c}\le1;\frac{1}{abc}>0$ nên $0<\frac{ab+bc+ca-1}{abc}<3$.
Suy ra $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}=\{1;2\}$
TH1: $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}=1$
TH1: $\frac{ab+bc+ca-1}{abc}=2$
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#15
Posted 26-03-2013 - 15:55
Em xin chém bài hình.
a) Ta có, tứ giác ANMP là hình chữ nhật nên $\angle NMP$=$90^{\circ}$. Mà $\angle NHP$=$90^{\circ}$ <=> tứ giác NMHP nội tiếp<=> $\angle MHN=\angle MPN$
Lại có, tứ giác ANHP nội tiếp( $\angle NAP+\angle NHP$=$180^{\circ}$) nên $\angle NPA=\angle NHA$.
<=>$\angle BHA$=$\angle MHN+\angle NHA=\angle MPN+\angle NPA=90^{\circ}$.
Vậy $AH\perp BH$
b) Em gởi sau!
Edited by tuannguyena1, 26-03-2013 - 15:57.
#16
Posted 26-03-2013 - 16:27
bài em làm sai vì chữa có M,B,H thẳng hàng
#17
Posted 27-03-2013 - 18:24
Bây giờ em xin chém lại bài hình! làm câu a trước. các cao thủ giúp em câu b nhé! thanks nhiều!
#18
Posted 27-03-2013 - 20:42
Ta có: Tứ giác ANMP là hình vuông(chắc ai cũng c/m được)
$\angle NPA=\angle NPM$
Dễ dàng chứng minh được các tứ giác NMHP vs tứ giác NHPA là tứ giác nội tiếp.
-Tứ giác NMHP nội tiếp => $\angle NHM=\angle NPM$ (1)
-Tứ giác NHPA mội tiếp => $\angle NPA=\angle NHA$ (2)
Mà $\angle NPA=\angle NPM$ nên từ (1) và (2) ta được $\angle AHN=\angle NHB$
Vậy ta được: $\angle AHP=\angle BHD$ (3)
Ta lại có: tứ giác ANHP nội tiếp đường tròn nên $\angle ANP=\angle AHP$ (*)
Mà tứ giác ANMP là hình vuông nên $\angle ANP=\angle NAD$ (**)
Từ (*) và (**) =>$\angle NAD=\angle AHP$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\angle NAD=\angle BHD$
=> tứ giác ABDH nội tiếp => $\angle BHA=\angle BDA=90^{\circ}$ =>$AH\perp BH$
Edited by tuannguyena1, 28-03-2013 - 22:23.
- tpdtthltvp likes this
#19
Posted 30-03-2013 - 22:41
Tổng hợp đáp án
Attached Files
Issac Newton
#20
Posted 31-03-2013 - 10:55
Tổng hợp đáp án
xem ra câu a hình mình làm đúng. há há
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users