Chủ đề này có 3 trả lời

[Anh Vinh]

Bài 1: Cho x,y là các số thực thảo mãn: $x^2+4y^2=1$.Chứng minh rằng:
$|x-y|\leqslant \frac{\sqrt{5}}{2}$
Bài 2: Giải phương trình: $-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3$

[25 minutes]

Bài 1: Cho x,y là các số thực thảo mãn: $x^2+4y^2=1$.Chứng minh rằng:
$|x-y|\leqslant \frac{\sqrt{5}}{2}$

Ta có $(x-y)^2=(1.x-\frac{1}{2}.2y)^2$
Áp dụng bđt B.C.S ta có :
$(x-y)^2=(1.x-\frac{1}{2}.2y)^2\leq (1^2+\frac{1}{2^2})\left [ x^2+(2y)^2 \right ]=\frac{5}{4}$
$\Rightarrow \left | x-y \right | \leq \frac{\sqrt{5}}{2}$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 10-03-2013 - 18:53

[25 minutes]

Bài 2: Giải phương trình: $-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3$

ĐK: $x^4\leq 2$
Phương trình đã cho được viết lại thành
$(-x^2+2x-1)+(x+\sqrt[4]{2-x^4}-2)=0$
$\Leftrightarrow -(x-1)^2+(\sqrt[4]{x^4}+\sqrt[4]{2-x^4}-2)=0$
Áp dụng AM-GM ta dễ dàng chứng minh được $\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\leq 2\sqrt[4]{\frac{a+b}{2}}$
$\Rightarrow \sqrt[4]{x^4}+\sqrt[4]{2-x^4}-2\leq 2\sqrt[4]{\frac{x^4+2-x^4}{2}}-2=0$
Lại có $-(x-1)^2 \leq 0$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=1$

[donghaidhtt]

Bài 2: Giải phương trình: $-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3$

ĐK: $x^{4}\leq 2$
$-x^2+3x+\sqrt[4]{2-x^4}=3\Leftrightarrow \sqrt[4]{2-x^4}=x^2-3x+3$
Dùng bất đẳng thức AM-GM: $\sqrt[4]{2-x^4}=\sqrt[4]{(2-x^4).1.1.1}\leq \dfrac{2-x^4+1+1+1}{4}=\dfrac{5-x^4}{4}$
Cần chứng minh: $x^2-3x+3\geq \dfrac{5-x^4}{4}\Leftrightarrow x^4+4x^2-12x+7\geq 0\Leftrightarrow (x-1)^2.(x^2+2x+7)\geq 0$
Luôn đúng.
Dấu bằng xảy ra: $\left\{\begin{matrix} 2-x^4=1\\ x=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1$