5 replies to this topic

[ilovemath97]

Trường THPT chuyên Quốc Học Huế Lớp 10- Thời gian 180 phút
Tổ Toán

Câu 1(4 điểm)

Giải phương trình:

$\sqrt{x+\frac{14}{x}}+\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=6$
Câu 2(4 điểm)

Tìm $a,b,c\in \mathbb{N^{*}}$ sao cho biểu thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ đạt giá trị nhỏ nhất, biết rằng $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $ab+bc+ca\geq 299$

Câu 3(4 điểm)

Trong mặt phẳng cho trục x'Ox và 4 điểm $A,B,C,D$ $\in x'Ox$ sao cho $A,B$ có tọa độ dương và $C,D$ có tọa độ âm thỏa mãn $OA.OB =OC.OD=1$. Xét 2 đường tròn $(O1);(O2)$ có đường kính lần lượt là $AB,CD$. Tiếp tuyến chung ngoài của $(O1);(O2)$ tiếp xúc với $(O1);(O2)$ lần lượt tại $A1,B1$.Tiếp tuyến chung trong của $(O1);(O2)$ tiếp xúc với $(O1);(O2)$ lần lượt tại $A2,B2$. Gọi $I$ là giao điểm của $A1A2$ và $B1B2$. Tìm tập hợp các điểm $I$ khi $A,B,C,D$ thay đổi

Câu 4(4 điểm) Gọi $a,b$$(a>b)$ là 2 nghiệm của phương trình $X^{2}-X-1=0$. Đặt$u$n = $\frac{1}{\sqrt{5}}(a^{n}-b^{n}), n\in \mathbb{N}^{*}$
a. Chứng minh rằng $u$n $\in \mathbb{N}$
b. Chứng minh có vô hạn $n\in \mathbb{N}$ thỏa $u$n chia hết cho 2013

Câu 5(4 điểm)

Cho $m\in \mathbb{N}^{*}$, gọi $C$ là tập con của tập hợp $\begin{Bmatrix}0,1,2,...,m \end{Bmatrix}$ sao cho $\left | C \right |\geq \frac{m}{2}+1$. Chứng minh rằng trong $C$ tồn tại một phần tử có dạng $2^{s}$,$(s\in \mathbb{N})$ hoặc tồn tại hai phần tử phân biệt có tổng là 1 số có dạng $2^{s}$,$(s\in \mathbb{N})$

...........................................................................................................................
P/S: Đề này mình chém đc câu 1,2,3 và 4a. Trong lớp có 4 đứa làm đc 4.5 câu và 1 đứa đc 4 câu. Còn 10 toán 2 ko bik thế nào, chán ghê, mong chờ điều kì diệu

Edited by ilovemath97, 11-03-2013 - 20:01.

[Zaraki]

Câu 2(4 điểm)

Tìm $a,b,c\in \mathbb{N^{*}}$ sao cho biểu thức $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ đạt giá trị nhỏ nhất, biết rằng $a,b,c$ đôi một phân biệt và thỏa mãn $ab+bc+ca\geq 299$

PP. Bữa nay hên thật, làm được câu này.
Lời giải. Áp dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3+c^3-3abc= \frac 12 (a+b+c) \left[ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right]$.
Không mất tính tổng quát, giả sử $a>b>c$. Khi đó $a \ge b+1, \; b \ge c+1, \; a \ge c+2$.
Do đó $(a-b)^2 \ge 1, \; (b-c)^2 \ge 1, \; (c-a)^2 \ge 4$, như vậy $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 6$.
Như vậy $a^2+b^2+c^2 -ab-bc-ca \ge 3 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \ge 302$.

Ta lại có $(a+b+c)^2= a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca \ge 302+598=900$.
Vì $a,b,c \in \mathbb{N}$ nên $a+b+c \ge 30$.
Do đó $a^3+b^3+c^3-3abc \ge 3 \cdot 30=90$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a,b,c$ là ba số liên tiếp và $ab+bc+ca=299$, tức $a,b,c$ là các hoán vị của $9,10,11$. $\square$

Edited by Phạm Quang Toàn, 11-03-2013 - 20:02.

[donghaidhtt]

Trường THPT chuyên Quốc Học Huế Lớp 10- Thời gian 180 phút
Tổ Toán
Câu 1(4 điểm)

Giải phương trình:

$\sqrt{x+\frac{14}{x}}+\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=6$

ĐKXĐ:$\left\{ \begin{array}{l}x+\dfrac{14}{x}\geq 0\\4-x+\dfrac{14}{4-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 4\end{array} \right.$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$3VT=3\sqrt{x+\frac{14}{x}}+3\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=\sqrt{(2+7)(x+\dfrac{14}{x})}+\sqrt{(2+7)(4-x+\dfrac{14}{4-x})}$ $\geq \sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)
$=\sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}+5\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x}})$
$\geq 4+4+5\sqrt{2}\dfrac{2}{\sqrt[4]{x(4-x)}}\geq 4+4+\dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt{\dfrac{x+4-x}{2}}}=4+4+10=18$ (BĐT Cauchy)
$\Leftrightarrow VT\geq 6$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$

Edited by donghaidhtt, 11-03-2013 - 20:41.

[ilovemath97]

ĐKXĐ:$\left\{ \begin{array}{l}x+\dfrac{14}{x}\geq 0\\4-x+\dfrac{14}{4-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 4\end{array} \right.$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$3VT=3\sqrt{x+\frac{14}{x}}+3\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=\sqrt{(2+7)(x+\dfrac{14}{x})}+\sqrt{(2+7)(4-x+\dfrac{14}{4-x})}$ $\geq \sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)
$=\sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}+5\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x}})$
$\geq 4+4+5\sqrt{2}\dfrac{2}{\sqrt[4]{x(4-x)}}\geq 4+4+\dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt{\dfrac{x+4-x}{2}}}=4+4+10=18$ (BĐT Cauchy)
$\Leftrightarrow VT\geq 6$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$

anh làm đúng đấy, cũng gần giống em, em lại bình phương áp dụng AMGM vs Bunhia. Nhưng đáng tiếc anh kết luận nghiệm sai, chắc do nhầm thôi, nghiệm là 2

Edited by ilovemath97, 11-03-2013 - 20:41.

[ducthinh26032011]

ĐKXĐ:$\left\{ \begin{array}{l}x+\dfrac{14}{x}\geq 0\\4-x+\dfrac{14}{4-x}\geq 0\\x\neq 0\\x\neq 4\end{array} \right.$

Với ĐKXĐ trên ta có:

$3VT=3\sqrt{x+\frac{14}{x}}+3\sqrt{4-x+\frac{14}{4-x}}=\sqrt{(2+7)(x+\dfrac{14}{x})}+\sqrt{(2+7)(4-x+\dfrac{14}{4-x})}$ $\geq \sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{7\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}$ (BĐT Bunhiakovsky)
$=\sqrt{2}\sqrt{x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}}+\sqrt{2}\sqrt{4-x}+\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4-x}}+5\sqrt{2}(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{4-x}})$
$\geq 4+4+5\sqrt{2}\dfrac{2}{\sqrt[4]{x(4-x)}}\geq 4+4+\dfrac{10\sqrt{2}}{\sqrt{\dfrac{x+4-x}{2}}}=4+4+10=18$ (BĐT Cauchy)
$\Leftrightarrow VT\geq 6$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=2$

Sao anh nghĩ đến những con số đó,căn tùm lum hết @@

donghaidhtt : Bài này để ý điểm rơi của x khi áp dụng Bunhia , cách dưới chắc dễ hơn.

Edited by Mai Duc Khai, 11-03-2013 - 21:51.

[donghaidhtt]

Ta sẽ đi chứng minh:$\sqrt{x+\dfrac{14}{x}}+\sqrt{4-x+\dfrac{14}{4-x}}\geq 6$
Thật vậy:
Bình phương 2 vế ta có:
$x+\frac{14}{x}+4-x+\frac{14}{4-x}+2\sqrt{(x+\frac{14}{x})(4-x+\frac{14}{4-x})}\geq 36 \Leftrightarrow \frac{14}{x}+\frac{14}{4-x}+2\sqrt{(x+\frac{14}{x})(4-x+\frac{14}{4-x})}\geq 32$
Ta có: $(x+\frac{14}{x})(4-x+\frac{14}{4-x})\geq 81\Leftrightarrow x(4-x)+\frac{14x}{4-x}+\frac{14(4-x)}{x}+\frac{196}{x(4-x)}\geq 81\Leftrightarrow (x-2)^2(x^2-4x+105)\geq 0$
Và $\dfrac{14}{x}+\dfrac{14}{4-x}\geq \dfrac{14.4}{x+4-x}= 14$
Nên BĐT được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=2$.

Edited by donghaidhtt, 11-03-2013 - 21:15.