Cho các số thực không âm a,b,c thỏa a+b+c=3. tim GTNN của:
\[
P= \sqrt{a^2 + a + 4}+ \sqrt{b^2 + b + 4}+ \sqrt{c^2 + c + 4}
\]
-----Hết-----
Mình giải vậy ai có bài giải hay hay post cho tham khảo:
BĐT phụ:
\[
\sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2} \ge \sqrt{(a+c)^2 + (b+d)^2}
\]
Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
(Ta CM bằng cách bình phương và rút gọn 2 lần thì được $a^2d^2 +b^2c^2 \ge 2abcd $ đúng theo BĐT cauchy).
\[
P= \sqrt{(a+\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 }+ \sqrt{(b+\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 } + \sqrt{(c+\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 } ≤ \sqrt{(a+ b+ 2\dfrac{1}{2})^2+ (2\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 }+ \sqrt{(c+\dfrac{1}{2})^2 + (\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 }
\]
\[
≤ \sqrt{(a+ b+ c+ 3\dfrac{1}{2})^2+ (3\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 }
\]
\[= \sqrt{(3+ 3\dfrac{1}{2})^2+ (3\dfrac{\sqrt{15}}{2})^2 } = 3\sqrt{6}
\] (Do a+b+c= 3)
Dấu "=" xảy ra khi
$
(a+\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{15}}{2}= (b+\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{15}}{2}
$(1)
và
$
(a+ b+ 2\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{15}}{2}= 2(c+\dfrac{1}{2})\dfrac{\sqrt{15}}{2}
$(2)
từ (1) và (2) và a+b+c=3
$
=>a=b=c=1
$
Vậy
$
MinP= 3\sqrt{6}
$
Khi
$
a=b=c=1
$
______________________________________________
Cái BĐT phụ kia là BĐT Minxcopki có thể CM bằng phương pháp tọa độ mp dùng cho các bài toán khó hơn.
CM
Đặt:
A(a,b)
B(a+c, b+d)
Với O(0,0) là gốc tọa độ ta luôn có
\[
OA+ AB \ge OB
<=>\sqrt{a^2+ b^2}+ \sqrt{c^2+ d^2} \ge \sqrt{(a+ c)^2+ (b+d)^2} (đpcm)
\]
Dấu "=" xảy ra khi O thuộc đoạn AB
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Duc Khai: 12-03-2013 - 19:15
