Chủ đề này có 2 trả lời

[jb7185]

Cho $x,y,z>0$ và $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN $P=x+y+z$

[vutuanhien]

Cho $x,y,z>0$ và $2x+4y+7z=2xyz$. Tìm GTNN $P=x+y+z$

$x+y+z=3.\frac{x}{3}+\frac{5}{2}.\frac{2y}{5}+2.\frac{c}{2}\geq (3+2,5+2).\left [ (\frac{x}{3})^3.(\frac{y}{2,5})^{2,5}.(\frac{z}{2}^2) \right ]^{\frac{1}{3+2,5+2}}$
$2x+4y+7z=2.3.\frac{x}{3}+4.2,5.\frac{y}{2,5}+7.2.\frac{z}{2}\geq (2.3+4.2,5+7.2)\left [ (\frac{x}{3})^{2.3}.(\frac{y}{2,5})^{4.2,5}.(\frac{z}{2})^{7.2} \right ]^{\frac{1}{2.3+4.2,5+7.2}}=30.\left [ (\frac{x}{3})^6.(\frac{y}{2,5})^{10}.(\frac{z}{2})^{14} \right ]^{\frac{1}{30}}$
$\Rightarrow (x+y+z)^2.(2x+4y+7z)\geq (3+2,5+2)^2.(2.3+4.2,5+7.2).(\frac{x}{3})^{\frac{2.2}{3+2,5+2}+\frac{2.2}{2.3+4.2,5+7.2}}.(\frac{y}{2,5})^{\frac{2.2,5}{3+2,5+2}+\frac{4.2,5}{2.3+4.2,5+7.2}}.(\frac{z}{2})^{\frac{2.2}{3+2,5+2}+\frac{7.2}{2.3+4.2,5+7.2}}=(3+2,5+2)^2.(2.3+4.2,5+7.2).(\frac{x}{3}).(\frac{y}{2,5}).(\frac{z}{2})=2.(\frac{15}{2})^2.xyz$
$\Rightarrow (x+y+z)^2\geq (\frac{15}{2})^2$
$\Rightarrow x+y+z \geq 7,5$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=3, y=2,5, z=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 13-03-2013 - 11:45

[jb7185]

$x+y+z=3.\frac{x}{3}+\frac{5}{2}.\frac{2y}{5}+2.\frac{c}{2}\geq (3+2,5+2).\left [ (\frac{x}{3})^3.(\frac{y}{2,5})^{2,5}.(\frac{z}{2}^2) \right ]^{\frac{1}{3+2,5+2}}$
$2x+4y+7z=2.3.\frac{x}{3}+4.2,5.\frac{y}{2,5}+7.2.\frac{z}{2}\geq (2.3+4.2,5+7.2)\left [ (\frac{x}{3})^{2.3}.(\frac{y}{2,5})^{4.2,5}.(\frac{z}{2})^{7.2} \right ]^{\frac{1}{2.3+4.2,5+7.2}}=30.\left [ (\frac{x}{3})^6.(\frac{y}{2,5})^{10}.(\frac{z}{2})^{14} \right ]^{\frac{1}{30}}$
$\Rightarrow (x+y+z)^2.(2x+4y+7z)\geq (3+2,5+2)^2.(2.3+4.2,5+7.2).(\frac{x}{3})^{\frac{2.2}{3+2,5+2}+\frac{2.2}{2.3+4.2,5+7.2}}.(\frac{y}{2,5})^{\frac{2.2,5}{3+2,5+2}+\frac{4.2,5}{2.3+4.2,5+7.2}}.(\frac{z}{2})^{\frac{2.2}{3+2,5+2}+\frac{7.2}{2.3+4.2,5+7.2}}=(3+2,5+2)^2.(2.3+4.2,5+7.2).(\frac{x}{3}).(\frac{y}{2,5}).(\frac{z}{2})=2.(\frac{15}{2})^2.xyz$
$\Rightarrow (x+y+z)^2\geq (\frac{15}{2})^2$
$\Rightarrow x+y+z \geq 7,5$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=3, y=2,5, z=2

Mình đã hiểu cách làm nhưng mình còn thắc mắc cơ sở tại sao bạn lại tách thành $\frac{x}{3},\frac{y}{2,5},\frac{z}{2}$.
Bạn có thể giải thích rõ cho mình để mình có thể áp dụng làm những bài tương tự thế này được không?
Cảm ơn trước!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi jb7185: 16-03-2013 - 13:25