2 replies to this topic

[letrongvan]

Các bài toán hàm liên tục hay hàm khả vi thường có ít dữ kiện,nên khi làm bài thường dựa vào đáp án để suy ngược lên, tìm 1 hàm mới để sử dụng, ai biết cách tìm, chỉ giúp mình với.
ví dụ bài sau:
cho f khả vi trên [0,1], f(0)=0, f(1)=1
chứng minh rằng tồn tại $a,b\in (0,1)$ với $a\neq b$ sao cho $\frac{1}{f'(a)}+\frac{2}{f'(b)}=3$
thanks!

Edited by letrongvan, 13-03-2013 - 17:31.

[viet 1846]

Các bài toán hàm liên tục hay hàm khả vi thường có ít dữ kiện,nên khi làm bài thường dựa vào đáp án để suy ngược lên, tìm 1 hàm mới để sử dụng, ai biết cách tìm, chỉ giúp mình với.
ví dụ bài sau:
cho f khả vi trên [0,1], f(0)=0, f(1)=1
chứng minh rằng tồn tại $a,b\in (0,1)$ với $a\neq b$ sao cho $\frac{1}{f(a)}+\frac{2}{f(b)}=3$
thanks!

Là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{2}{f'(b)}=3$ chứ anh bạn.

Nếu đề là thế này thì mình giải nó như sau:

Xét hàm \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - x - \sqrt {x - {x^2}} \,\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\]

Ta có: $g\left( 0 \right).g\left( 1 \right) < 0$ nên tồn tại $c\in (0;1)$ sao cho:

\[f\left( c \right) = c + \sqrt {c - {c^2}} \]

Áp dụng Định lý $Lagrange$ ta có tồn tại $a\in (0;c)$ $b\in (c;1)$ sao cho:


\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{f\left( c \right) - f\left( 0 \right)}}{{c - 0}} = f'\left( a \right) \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{f\left( c \right)}}{c} \\
\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( c \right)}}{{1 - c}} = f'\left( b \right) \Rightarrow f'\left( b \right) = \frac{{1 - f\left( c \right)}}{{1 - c}} \\
\end{array} \right.\]

Ta có: \[\frac{1}{{f'\left( a \right)}} + \frac{2}{{f'\left( b \right)}} = \frac{c}{{f\left( c \right)}} + \frac{{1 - c}}{{1 - f\left( c \right)}} = \frac{{c + f\left( c \right) - 2cf\left( c \right)}}{{f\left( c \right)\left( {1 - f\left( c \right)} \right)}} = 1\]

----------------------------------------------------------------------

Mình nhìn nhầm là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{1}{f'(b)}=3$, hi, nhưng ngại chữa lại.

Edited by viet 1846, 13-03-2013 - 16:36.

[letrongvan]

Là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{2}{f'(b)}=3$ chứ anh bạn.

Nếu đề là thế này thì mình giải nó như sau:

Xét hàm \[g\left( x \right) = f\left( x \right) - x - \sqrt {x - {x^2}} \,\left( {x \in \left[ {0;1} \right]} \right)\]

Ta có: $g\left( 0 \right).g\left( 1 \right) < 0$ nên tồn tại $c\in (0;1)$ sao cho:

\[f\left( c \right) = c + \sqrt {c - {c^2}} \]

Áp dụng Định lý $Lagrange$ ta có tồn tại $a\in (0;c)$ $b\in (c;1)$ sao cho:


\[\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{f\left( c \right) - f\left( 0 \right)}}{{c - 0}} = f'\left( a \right) \Rightarrow f'\left( a \right) = \frac{{f\left( c \right)}}{c} \\
\frac{{f\left( 1 \right) - f\left( c \right)}}{{1 - c}} = f'\left( b \right) \Rightarrow f'\left( b \right) = \frac{{1 - f\left( c \right)}}{{1 - c}} \\
\end{array} \right.\]

Ta có: \[\frac{1}{{f'\left( a \right)}} + \frac{2}{{f'\left( b \right)}} = \frac{c}{{f\left( c \right)}} + \frac{{1 - c}}{{1 - f\left( c \right)}} = \frac{{c + f\left( c \right) - 2cf\left( c \right)}}{{f\left( c \right)\left( {1 - f\left( c \right)} \right)}} = 1\]

----------------------------------------------------------------------

Mình nhìn nhầm là $\frac{1}{f'(a)}+\frac{1}{f'(b)}=3$, hi, nhưng ngại chữa lại.

Hi, mình đưa nhầm, bạn sửa đúng rồi mà! Nhưng ý tưởng đưa ra g(x) của bạn? mình muốn biết cái đó, có thể dùng cái hàm g(x) khác nữa cũng ra được!