36 replies to this topic

[Large]

Đề thi HSG toán 12 HCM 14/03/2013

Thời gian: 150phút

Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

$x^2 - 8(x+3)\sqrt{x-1} + 22x - 7 = 0$

$sin^{2}x(4cos^2{x}-1)=cosx(sinx+cosx-sin3x)$

Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{array}{l}\frac{xy+y-x}{xy-y^2+1}=x^2 \\x^2+y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{array}\right.$$

Câu 3: (3 điểm)Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$$

Câu 4: Tìm $m$ để phương trình sau không có nghiệm thực:(3 điểm)

$$x^4-mx^3+(m+1)x^2-2x+1=0$$

Câu 5: Cho hình chóp đều $S.ABCD$ cạnh $a$. $M$ là trung điểm của $CD$ (4 điểm)

a. Tính theo a khoảng cách từ $AM$ đến $SC$.

b. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.AMC$

Câu 6:(2 điểm) Tính:
$$A=
\dfrac{2^1.C^0_{2011}}{1.2}-
\dfrac{2^2.C^1_{2011}}{2.3}+
\dfrac{2^3.C^2_{2011}}{3.4}-
\dfrac{2^4.C^3_{2011}}{4.5}+.....+
\dfrac{2^{2011}.C^{2010}_{2011}}{2011.2012}-
\dfrac{2^{2012}.C^{2011}_{2011}}{2012.2013}
$$
mới đi thi về, đề thế này mà em làm được có câu lượng giác(em 11) . như vậy có phải là em quá dở không đề còn câu tổ hợp(2 điểm) nữa mà không nhớ.

Edited by Ispectorgadget, 14-03-2013 - 19:40.

[Ispectorgadget]

Biểu điểm câu 4 với câu 5 thế nào hả bạn. :-?
Đề năm nay thấy khó hơn năm ngoái .

Có dc dùng máy tính không nhỉ.


Large : câu 4 3 điểm, câu 5 4 điểm, câu cuối tổ hợp 2 điểm, được dùng máy tính bạn. khó mà tụi bạn em làm toàn 5 điểm trở lên, tủi thân quá @@

thangemmh Mình mới thi về đây! Mình làm đuợc câu 1 2 4 5 rớt quá !

Large bạn vậy là đỡ rồi. mình có làm được 1 câu thôi nè. nãy bạn thi phòng mấy

thangemmhphòng 64. SBD 2627 chán quá về nhà mới nghĩ ra cách giải câu BDT. Giờ mới nhớ là nó có trong tài sách của thầy Phan Huy Khải buồn ghê

Large làm được 1 2 4 5 là 15đ rồi còn muốn gì nữa @@ câu 5 bạn ra nhiêu ???
tandatict 5a mình ra $\frac{\sqrt{3}}{4}a$, không biết đúng không nhỉ @@

thangemmh chả biết đúng hay không nữa. Lát mình up bài giải lên ( hơi lâu)
Large mình thấy tụi bạn mình không ra giống thế
thangemmh Bạn cậu ra đáp án ntn? mình ra $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Edited by Mai Duc Khai, 14-03-2013 - 21:10.

[25 minutes]

Câu tổ hợp cuối ( Theo bạn thangemmh )
Tính $A=\frac{2^1.\textrm{C}_{2011}^{0}}{1.2}-\frac{2^2.\textrm{C}_{2011}^{1}}{2.3}+...+\frac{2^{2011}.\textrm{C}_{2011}^{2010}}{2011.2012}-\frac{2^{2012}.\textrm{C}_{2011}^{2101}}{2012.2013}$

[Ispectorgadget]

File PDF đề này.
 de thi HSG 12 TPHCM 2012-2013.pdf   108.06KB   1122 downloads

[VNSTaipro]

Câu 6:(2 điểm) Tính:

Biến đổi số hạng tổng quát:
$\frac{2^{k+1}.C_{2011}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2.2012.2013}.2^{k+2}.C_{2013}^{k+2}$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2.2012.2013}.(2^{2}C_{2013}^{2}-2^{3}.C_{2013}^{3}+..+2^{2012}C_{2013}^{2012}-2^{2013}C_{2013}^{2013})$
Mà $(1+(-2))^{2013}=2^{0}C_{2013}^{0}-2^{1}C_{2013}^{1}+2^{2}C_{2013}^{2}-2^{3}.C_{2013}^{3}+..+2^{2012}C_{2013}^{2012}-2^{2013}C_{2013}^{2013}$
$\Rightarrow A=\frac{2.2013-1-1}{2.2013.2013}=\frac{1}{2013}$

Edited by VNSTaipro, 14-03-2013 - 20:24.

[Sagittarius912]

Đề thi HSG toán 12 HCM 14/03/2013

Thời gian: 150phút

Câu 3: (3 điểm)Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$$

Câ

BĐT tương đương

$\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge 3$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

$\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}=\sum \frac{a^4}{(2-a)a^3}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2\sum a^3-\sum a^4}=\frac{3\sum a^2}{2\sum a^3- \sum a^4}$

Ta cần chứng minh

$\frac{\sum a^2}{2\sum a^3- \sum a^4}\ge 1$

$\Leftrightarrow \sum a^2 +\sum a^4 \ge 2\sum a^3$

Cái này hiển nhiên đúng theo AM-GM

$a^4 +a^2 \ge 2a^3$

$b^4 +b^2 \ge 2b^3$

$c^4 +c^2 \ge 2c^3$

dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Edited by Sagittarius912, 14-03-2013 - 20:01.

[thangemmh]

câu 5 bạn ra nhiêu ???

Mình giải ra
câu a là $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
câu b là $\dfrac{a\sqrt{10}}{4}$
còn đứa bạn thì câu a thì lại giải ra $\dfrac{a\sqrt{22}}{11}$

[thangemmh]

$\frac{2^{k+1}.C_{2011}^{k}}{(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2.2012.2013}.2^{k+2}.C_{2013}^{k+2}$
$\Rightarrow A=\frac{1}{2.2012.2013}.(2^{2}C_{2013}^{2}-2^{3}.C_{2013}^{3}+..+2^{2012}C_{2013}^{2012}-2^{2013}C_{2013}^{2013})$
Hic mình giải tới đây thì hết giờ !

[VNSTaipro]

Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

$sin^{2}x(4cos^2{x}-1)=cosx(sinx+cosx-sin3x)$

$\Leftrightarrow sin^{2}2x-sin^{2}x=\frac{1}{2}sin2x+cos^{2}x-\frac{1}{2}(sin2x+sin4x)$
$\Leftrightarrow cos^{2}2x-sin2x.cos2x=0$
$\Rightarrow cos2x=0$ hoặc $tan2x=1$

[whereismylove]

Mình cũng mới thi xong phòng 81 nèh hihi. Câu 5a mình ra $\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}$ .Câu b mình ra a $\frac{{a\sqrt {73} }}{8}$
Câu tìm m mình khảo sát hàm số ra $m \in \left( { - 2;\frac{17}{4}} \right)$dug ko moi người :|


MOD: Gõ latex bạn nhé

Edited by Mai Duc Khai, 14-03-2013 - 20:58.

[VNSTaipro]

Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

$x^2 - 8(x+3)\sqrt{x-1} + 22x - 7 = 0$

Để ý 1 chút sẽ phân tích được
$\Leftrightarrow 16(x-1)-8(x+3)\sqrt{x-1}+(x^{2}+6x+9)=0$
$\Leftrightarrow (4\sqrt{x-1}-x-3)^{2}=0$

Edited by VNSTaipro, 14-03-2013 - 20:26.

[tandatict]

$${x^{2}}-8(x+3)\sqrt{x-1}+22x-7=0$$

$$\iff (x+3)^{2}-2.4(x+3)\sqrt{x-1}+(4\sqrt{x+1})^{2}=0$$

$$\iff (x+3-4\sqrt{x-1})^{2}=0$$

$$\iff x+3=4\sqrt{x-1}$$

$$\iff x=5$$

Edited by Ispectorgadget, 14-03-2013 - 20:29.

[Ispectorgadget]

Đề thi HSG toán 12 HCM 14/03/2013

Thời gian: 150phút

Câu 3: (3 điểm)Cho $a,b,c>0$ và $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh:

$$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq 3$$

Bài này thật ra có đầy trong sách + trên mạng ....
Ta có: $$\left(\frac{1}{2-a}-\frac{1}{2} \right )+\left(\frac{1}{2-b}-\frac{1}{2} \right )+\left(\frac{1}{2-c}-\frac{1}{2} \right )\ge \frac{3}{2}$$

$$\Leftrightarrow \frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{c}{2-c}\ge 3$$

$$VT\ge \frac{(a+b+c)^2}{a(2-a)+b(2-b)+c(2-c)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3}$$

Ta chỉ cần chứng minh $$(a+b+c)^2 \ge 3[2(a+b+c)-3]$$

Hay $$(a+b+c)^2 +9 \ge 2(a+b+c)$$
Hiển nhiên đúng theo AM-GM

Vậy bài toán được chứng minh.

@@ Đề này làm được cỡ 14 điểm tiếc là năm nay không dc đi thi =((

Edited by Ispectorgadget, 14-03-2013 - 20:37.

[whereismylove]

Cho mình hỏi bao nhiêu điểm thì được giải vậy mọi người mình đc tầm 15đ sợ làm ẫu bị trừ điểm qá à >"<

[VNSTaipro]

Bài này thật ra có đầy trong sách + trên mạng ....
$$VT\ge \frac{(a+b+c)^2}{a(2-a)+b(2-b)+c(2-c)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)-3}$$

$VT\ge \frac{(a+b+c)^2}{\sum a^{2}(2-a)}$ chứ Kiên

=)) GÕ thiếu khúc đầu.

Edited by Ispectorgadget, 14-03-2013 - 20:38.

[longqnh]

Đề thi HSG toán 12 HCM 14/03/2013

Thời gian: 150phút

Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:

$x^2 - 8(x+3)\sqrt{x-1} + 22x - 7 = 0$

Câu 1 giải chay thì chuyển căn qua rồi bình phương thu gọn được phương trình
$x^4-20x^3+150x^2-500x+625=0 \Leftrightarrow (x-5)^4=0 \Leftrightarrow x=5$

[VNSTaipro]

$$\left\{\begin{array}{l}\frac{xy+y-x}{xy-y^2+1}=x^2 \\x^2+y\sqrt{y+\frac{1}{x}}=6y-1 \end{array}\right.$$

PT $(1)$ $\Leftrightarrow xy+y-x=x^{2}(xy+1-y^{2})$
$\Leftrightarrow (x^{2}y^{2}+xy)+(y-x)-x^{2}(xy+1)=0$
$\Leftrightarrow (y-x)(x.(xy+1)+1)=0$
Đến đây thế vào $(2)$ là ok

[Ispectorgadget]

PT $(1)$ $\Leftrightarrow xy+y-x=x^{2}(xy+1-y^{2})$
$\Leftrightarrow (x^{2}y^{2}+xy)+(y-x)-x^{2}(xy+1)=0$
$\Leftrightarrow (y-x)(x.(xy+1)+1)=0$
Đến đây thế vào $(2)$ là ok

Làm tới đây giải quyết tiếp sao nhỉ :-/ mình thế 1 hồi cũng ra mà hơn 1 trang giấy chả biết biến đổi đúng không nữa @@.

[whereismylove]

Thế x=y vào rồi chia cho x rồi đặt ẩn phụ t = căn(x+1/x) la ok rồi Thợp kia vô nghiệm

[tandatict]

Câu 2 nghiệm là $\left ( 2+\sqrt{2};2+\sqrt{2} \right )$ và $\left ( 2-\sqrt{2};2-\sqrt{2} \right )$ thì phải

Edited by tandatict, 14-03-2013 - 21:20.