Chủ đề này có 3 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$. $D$ là trung điểm của $BC$. Từ $M$ bất kì thuộc $AD$ kẻ $MN\perp AB;MP\perp AC$. Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $N$ xuống $PD$.
$a)$ Chứng minh $AH\perp BH$
$b)$ Gọi $I$ là giao của đường vuông góc với $BC$ tại $B$ và trung trực của $AB$. Chứng minh $I,H,N$ thẳng hàng.

[nguyensidang]

bạn tham khảo cách giải ở topic về đề thi HSG tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013

[thukilop]

a) Đặt: $K=AD \cap NP$
Ta sẽ đi chứng minh: DM.DA=DH.DP
- Dùng phương tích của điểm P với đtron tâm K đường kính NP (trong tứ giác NHPA nội tiếp

=> $P _{(D,K)}=DH.DP=DK^{2}-KH^{2}=DK^{2}-KM^{2}$

-Mặt khác $DM.DA=(DK-KM)(DK+KM)=DK^{2}-KM^{2}$

Suy ra DM.DA=DH.DP =>MHAP nội tiếp => Q.E.D
b) Chỉ cần chứng minh $\widehat{BHN}=\widehat{BHI}=45^{o}$ (câu này đơn giản rồi)

[nguyensidang]

Ta dễ dàng chứng minh DI là trung trực AB và ngược lại
ID cắt AB tại O; nối I với A ta có:
IB=AD(=2IO=2DO)
IB//AD(gt)
suy ra IBDA là hình bình hành$\Rightarrow$IA//BD
$\Rightarrow$IA vuông góc với IB
Mà $\widehat{AHB}$=90 độ
Nên tứ giác IBHA nội tiếp$\Rightarrow \widehat{IHB}=\widehat{IAB}$
Ta dễ dàng chứng minh$\widehat{IAB}=45$ độ
nên $\widehat{IHB}$=45 độ
Tứ giác NHPA nội tiếp$\Rightarrow \widehat{NHA}=\widehat{NPA}$=45 độ$\Rightarrow \widehat{NHA}=45$ độ(=90-$\widehat{NHA}$)
Từ đó suy ra $\widehat{BHI}=\widehat{BHN}$(=45 độ)
Nên I,H,N thẳng hàng(ĐPCM)