Chủ đề này có 7 trả lời

[huyentrang97]

Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB,CH. Một đường thẳng d di động luôn song song AB cắt cạnh AC ở M và BC ở N. Dưng hình chữ nhật MNPQ với 2 điểm P,Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. CMR: I,J,K thẳng hàng.

[SOYA264]

Cho tam giác ABC có đường cao CH. Gọi I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn AB,CH. Một đường thẳng d di động luôn song song AB cắt cạnh AC ở M và BC ở N. Dưng hình chữ nhật MNPQ với 2 điểm P,Q thuộc cạnh AB. Gọi J là tâm hình chữ nhật MNPQ. CMR: I,J,K thẳng hàng.

Dễ thấy $J$ nằm trên đường trung trực của KH nên $JK=JH$. (1)
Ta có: $AI= QP=\frac{AB}{2}$ suy ra $IP=AQ=QH$
Vì $IP=QH$ nên ta dễ dàng chứng minh được $J$ cũng nằm trên đường trung trực của $HI$
Suy ra $JH= JI$ (2)
Từ (1,2) suy ra 3 điểm $H,K,I$ cùng nằm trên đường tròn tâm $J$.
Lại có $\widehat{KHI}=90^{\circ}$ nên $KI$ là đường kính qua tâm $J$.
Điều này dẫn đến 3 điểm $K,J,I$ thẳng hàng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 17-03-2013 - 08:02

[pacacghd]

Dễ thấy $I$ nằm trên đường trung trực của KH nên $IK=IH$. (1)
Ta có: $AJ= QP=\frac{AB}{2}$ suy ra $JP=AQ=QH$
Vì $JP=QH$ nên ta dễ dàng chứng minh được $I$ cũng nằm trên đường trung trực của $HJ$
Suy ra $IH= IJ$ (2)
Từ (1,2) suy ra 3 điểm $H,K,J$ cùng nằm trên đường tròn tâm $I$.
Lại có $\widehat{KHJ}=90^{\circ}$ nên $KJ$ là đường kính.
Điều này dẫn đến 3 điểm $K,I,J$ thẳng hàng.

hình như bạn đọc sai đề

[SOYA264]

hình như bạn đọc sai đề

Thì mình nhầm giữa $I$ với $J$. Đó là do sự bất cẩn. Nhưng tinh thần cách làm là như vậy. Bạn có ý kiến nhận xét gì nữa không?

[pacacghd]

Thì mình nhầm giữa $I$ với $J$. Đó là do sự bất cẩn. Nhưng tinh thần cách làm là như vậy. Bạn có ý kiến nhận xét gì nữa không?

J chỉ thuộc trug trực HK khi d đi qua K

[SOYA264]

J chỉ thuộc trug trực HK khi d đi qua K

Bạn nói đúng, do mình đọc đề không kĩ. Sau đây mình sẽ sửa chữa sai lầm bằng cách đưa ra lời giải mới
Ta có:
$\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AI}$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AC})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AC})$
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AM})-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HQ}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{AB})$
=$\frac{1}{2}(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HQ}+\overrightarrow{CM})$
Ta dễ dàng chứng minh được: $\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{BH}$
Đặt $\frac{\overrightarrow{CM}}{\overrightarrow{AC}}=\frac{\overrightarrow{HQ}}{\overrightarrow{BH}}=k $ $(-1< k< 0)$
Do đó:
$\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(k+1)(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AC})=(k+1)\overrightarrow{IK}$
Suy ra đpcm.
P/s: Hi vọng lần này sẽ không có sai sót chi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SOYA264: 18-03-2013 - 20:07

[huyentrang97]

Ta dễ dàng chứng minh được: $\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{BH}$

 

              Bạn xem lại chỗ này giùm, theo mình :$\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{AH}$

 

 

[SOYA264]

              Bạn xem lại chỗ này giùm, theo mình :$\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{AH}$

 

 

Không $\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{BH}$ là đúng rồi. Chứng minh như sau:

Ta có:$\frac{AM}{AC}=\frac{BQ}{BH}=\frac{MP}{CH}$

suy ra $\frac{CM}{AC}=\frac{HQ}{BH}$

Bạn nên xem lại