Chủ đề này có 3 trả lời

[shinichi2095]

Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
(x^2+y^2)(x+y)=15xy\\ (x^4+y^4)(x^2+y^2)=85x^2y^2

\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 17-03-2013 - 10:41

[thanhdotk14]

Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
(x^2+y^2)(x+y)=15xy  (1)\\ (x^4+y^4)(x^2+y^2)=85x^2y^2  (2)

\end{matrix}\right.$

Bài giải (p/s:tập thể dục hơi bị mệt!)

Dễ dàng thấy $x=y=0$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Với $x\neq 0,y\neq 0$:

Từ pt $(1)$

$$\Rightarrow xy=\frac{x^3+x^2y+xy^2+y^3}{15}$$

Thay vào pt $(2)$, ta được:

$$28x^6+28y^6-6x^4y^2-68x^3y^3-34x^5y-34xy^5=0$$

Khi đó: do $y\neq 0$ nên chia cả hai vế cho $y^6$, và đặt $a=\frac{x}{y}$, ta được:

$$28a^6-34a^5-6a^4-68a^3-6a^2-34a+28=0(*)$$

Dễ dàng thấy $a=0$ không phải là nghiệm của $(*)$, nên chia cả hai vế của $(*)$ cho $a^3$, ta được:

$$28\left ( a^3+\frac{1}{a^3} \right )-34\left ( a^2+\frac{1}{a^2} \right )-6\left ( a+\frac{1}{a} \right )-68=0$$

$$\Leftrightarrow 28\left [ \left ( a+\frac{1}{a} \right )^3-3\left ( a+\frac{1}{a} \right ) \right ]-34\left [ \left ( a+\frac{1}{a} \right )^2-2 \right ]-6\left ( a+\frac{1}{a} \right )-68=0$$

Khi đó: Đặt $k=a+\frac{1}{a}$ thì $|k|\ge 2$

Do đó, ta được phương trình mới là:

$$28k^3-34k^2-90k=0$$

Phương trình trên có nghiệm thỏa mãn điều kiện là $k=\frac{5}{2}$

Khi đó, ta được:

$$\begin{bmatrix} a=2 & & \\ a=\frac{1}{2} & & \end{bmatrix}$$

$$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \frac{x}{y}=2 & & \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{2} & & \end{bmatrix}$$

Khi đó thay vào pt $(1)$ và kết hợp với nghiệm ban đầu thì ta có các nghiêm của hệ phương trình  là :

$$(x;y)=(0;0),(4;2),(2;4)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 21-03-2013 - 12:25

[nthoangcute]

Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
(x^2+y^2)(x+y)=15xy\\ (x^4+y^4)(x^2+y^2)=85x^2y^2

\end{matrix}\right.$

Lời giải:
Ta có:
$$45((x^4+y^4)(x^2+y^2)-85x^2y^2)-17(((x^2+y^2)(x+y))^2-(15xy)^2)=0$$
$$\Rightarrow  2(x-2y)(2x-y)(x^2+y^2)(7x^2+9xy+7y^2)=0$$
Đến đây ngon lành rồi ...

_________________________________

Ai không hiểu gì thì bảo ông Wolframalpha nhé !!!

[thukilop]

Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix}
(x^2+y^2)(x+y)=15xy\\ (x^4+y^4)(x^2+y^2)=85x^2y^2

\end{matrix}\right.$

 

$\boxed{Third Solutions}$

$\left\{\begin{matrix}(x^2+y^2)(x+y)=15xy  (1)\\ (x^4+y^4)(x^2+y^2)=85x^2y^2 (2)\end{matrix}\right.$

 

--Dễ dàng thấy x=y=0 là nghiệm của hệ

 

-- Xét x,y khác 0

 

-- Hệ đã cho tương đương:

$\left\{\begin{matrix}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})(x+y)=15 & \\ (\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})(x^{2}+y^{2})=85 & \end{matrix}\right.$ (3)

 

-- Đặt:$a=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},b=x+y$

 

$\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=a^{2}-2\\ xy=\frac{b^{2}}{a+2}\\ x^{2}+y^{2}=b^{2}-\frac{2b^{2}}{a+2}\end{matrix}\right.$

 

 

--Khi ấy $(3)<=>\left\{\begin{matrix}ab=15 & \\ (a^{2}-2)(b^{2}-\frac{2b^{2}}{a+2})=85(4) & \end{matrix}\right.$

 

-- Xét pt (4)

$(4) <=> ab^{2}(a^{2}-2)=85(a+2)<=> a^{2}b^{2}(a^{2}-2)=85a(a+2)$

 

<=> $15^{2}(a^{2}-2)=85a(a+2)$

 

<=> $a=\frac{5}{2}$ hoặc $a=\frac{-9}{7}$

• $a=\frac{5}{2}$=> $b=6=>\left\{\begin{matrix}x+y=6 & \\ xy=8 & \end{matrix}\right.$
• $a=\frac{-9}{7}$=>$b=\frac{-35}{3}$: Vô nghiệm

 

KL: hệ có 3 nghiệm $\boxed{(x,y)=(0,0),(2,4),(4,2)}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 21-03-2013 - 22:15