Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận
Do x,y,z>0 và xyz=1 nên tồn tại a,b,c sao cho:$x=\frac{bc}{a^2},y=\frac{ca}{b^2},z=\frac{ab}{c^2}$
Thay vào ta được:
$\sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}\geq 1$
Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$(a^2+bc)^2\leq (a^2+b^2)(a^2+c^2)$
$\Rightarrow \sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}\geq \sum \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=1-\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$
Từ đó cần chứng minh:
$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$
Nhưng BDT này đúng vì:$a^2+bc\leq \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$
Kết thúc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Edited by sieutoan99, 18-03-2013 - 17:27.