Chủ đề này có 4 trả lời

[25 minutes]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{1}{1+(1+x)^3}+\frac{1}{1+(1+y)^3}+\frac{1}{1+(1+z)^3} \geq \frac{1}{3}$
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
c,$\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2+y+4}}+\frac{1}{\sqrt{4z^2+z+4}} \leq1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 17-03-2013 - 17:15

[Mai Xuan Son]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{1}{1+(1+x)^3}+\frac{1}{1+(1+y)^3}+\frac{1}{1+(1+z)^3} \geq \frac{1}{3}$
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
c,$\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2+y+4}}+\frac{1}{\sqrt{4z^2+z+4}} \leq1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận

Câu 1 thì U.C.T rõ quá
Từ giả thiết $xyz=1$
Lấy logarit nepe 2 vế
$\Rightarrow \ln x+\ln y+\ln z=0$
Xét hàm
$f(x)=\frac{1}{1+(x+1)^3}+\frac{4}{27}.\ln x-\frac{1}{9}$ Với $x\in (0;+\propto )$
$f'(x)=-\frac{3x^2+6x+3}{[1+(1+x)^3]^2}+\frac{4}{27x}$
$\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $\min f(x)=f(1)=0$
Do đó
$\frac{1}{1+(1+x)^3}\geq \frac{1}{9}-\frac{4}{27}.\ln x$
$\frac{1}{1+(1+y)^3}\geq \frac{1}{9}-\frac{4}{27}.\ln y$
$\frac{1}{1+(1+z)^3}\geq \frac{1}{9}-\frac{4}{27}.\ln z$
Cộng vế với vế $\rightarrow Q.E.D$ $\blacksquare$

Câu 2
Bằng phép đặt
$x=\frac{a}{b}$
$y=\frac{b}{c}$
$z=\frac{c}{a}$
Với $a,b,c>0$
.......................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 17-03-2013 - 19:34

[nthoangcute]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a,$\frac{1}{1+(1+x)^3}+\frac{1}{1+(1+y)^3}+\frac{1}{1+(1+z)^3} \geq \frac{1}{3}$
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
c,$\frac{1}{\sqrt{4x^2+x+4}}+\frac{1}{\sqrt{4y^2+y+4}}+\frac{1}{\sqrt{4z^2+z+4}} \leq1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận

Mấy bài này cũng tạm
a) Xét hàm $f(x)=\frac{1}{1+(1+x)^3}$
$$f''(x)=\frac{6(1+x)(1+6x+6x^2+2x^3)}{(x+2)^3(x^2+x+1)^3}>0$$
Suy ra $f(x,y,z) \geq f(\sqrt[3]{xyz},\sqrt[3]{xyz},\sqrt[3]{xyz})=\frac{1}{3}$
______________________________________________________
tops2liz làm sai rồi, he he ... Ban đầu mình định dùng UCT, nhưng thấy sai nên thôi

Câu 1 thì U.C.T rõ quá
Từ giả thiết $xyz=1$
Lấy logarit nepe 2 vế
$\Rightarrow \ln x+\ln y+\ln z=0$
Xét hàm
$f(x)=\frac{1}{1+(x+1)^3}+\frac{4}{27}.\ln x-\frac{1}{9}$ Với $x\in (0;+\propto )$
$f'(x)=-\frac{3x^2+6x+3}{[1+(1+x)^3]^2}+\frac{4}{27x}$
$\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$
Vẽ bảng biến thiên suy ra $\min f(x)=f(1)=0$

Cái này sai ở chỗ: $f(\frac{1}{100})={\frac {258137}{676767}}-{\frac {8}{27}}\,\ln \left( 10 \right) <0$
He he ...

[dark templar]

b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$

1 bài khá tương tự
$$\frac{1}{(1+x)^3}+\frac{1}{(1+y)^3}+\frac{1}{(1+z)^3} +\frac{5}{(1+x)(1+y)(1+z)} \ge 1$$

Suy ra $f(x,y,z) \geq f(\sqrt[3]{xyz},\sqrt[3]{xyz},\sqrt[3]{xyz})=\frac{1}{3}$
______________________________________________________

Không hiểu dòng này lắm

[sieutoan99]

Cho $x,y,z$ là các số dương thỏa mãn $xyz=1$
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
b,$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)} \geq 1$
P/S : Đây là những bài toán mình sưu tầm trên THTT, mọi người cùng thảo luận

Do x,y,z>0 và xyz=1 nên tồn tại a,b,c sao cho:$x=\frac{bc}{a^2},y=\frac{ca}{b^2},z=\frac{ab}{c^2}$
Thay vào ta được:
$\sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}+\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)}\geq 1$
Sử dụng Cauchy-Schwarz ta có:
$(a^2+bc)^2\leq (a^2+b^2)(a^2+c^2)$
$\Rightarrow \sum \frac{a^4}{(a^2+bc)^2}\geq \sum \frac{a^4}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}=1-\frac{2a^2b^2c^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$
Từ đó cần chứng minh:
$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)\geq (a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)$
Nhưng BDT này đúng vì:$a^2+bc\leq \sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}$
Kết thúc chứng minh.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieutoan99: 18-03-2013 - 17:27