Chủ đề này có 1 trả lời

[chuyentoan]

Cho tam giác ABC. a, b, c là các đường thẳng qua A, B, C và đôi một song song với nhau. a', b', c' là các đường thẳng đối xứng với a, b, c qua các cạnh BC, CA, AB, theo thứ tự. Chứng minh rằng a', b', c' đồng quy khi và chỉ khi a, b, c song song với đường thẳng Euler của tam giác ABC.

[neverstop]

trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

bổ đề: cho tam giác ABC. A', B', C' lần lượt đối xứng với A, B, C qua các cạnh BC, CA, AB. chứng minh rằng các đường thẳng Ơle của các tam giác A'BC, B'CA, C'AB đồng quy tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

chứng minh:
gọi H, K, L, M lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, A'BC, B'CA, C'AB. gọi O, X, Y, Z lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, A'BC, B'CA, C'AB.
gọi P là giao điểm của KX và LY.
ta có: (PK, PL) = (KX, LY)
= (KX, BC) + (BC, CA) + (CA, LY)
= (BC, OH) + (BC, CA) + (OH, CA) (vì KX và OH đối xứng nhau qua BC; LY và OH đối xứng nhau qua CA)
= 2(BC, CA)
= (CK, CL)
do đó P thuộc đường tròn (CKL) tức P thuộc (O).
tương tự giao điểm của LY, MZ cũng thuộc (O) tức cả 3 đường KX, LY, MZ đồng quy tại 1 điểm thuộc (O).

trở lại bài toán: vẫn ký hiệu 1 số điểm bổ xung như trong bổ đề.

chiều nghịch: giả sử a // b // c // OH. ta sẽ chứng minh a', b', c' đồng quy.
gọi K' là điểm đối xứng của O qua K.
ta có: OX =// AH (song song và bằng) nên OX =// A'K nên OKA'X là hình bình hành, suy ra A'X =// OK =// KK', suy ra A'K'KX là hình bình hành nên A'K' =// KX, suy ra A'K' chính là đường thẳng a'.
tương tự có kết quả với các đường thẳng b', c'.
vị tự tâm O tỉ số 1/2 thì các đường thẳng a', b', c' trở thành các đường thẳng Ơle của các tam giác A'BC, B'CA, C'AB; do đó theo bổ đề trên thì các đường thẳng này đồng quy tại 1 điểm thuộc (O, 2R) với R là bán kính đường tròn (ABC).

phần thuận: giả sử a', b', c' đồng quy tại điểm P.
cần chứng minh a // b // c // OH.
ta gọi điểm đồng quy khi a // b // c // OH là Q. ta sẽ chứng minh P trùng Q.
ta có: (PA', PB') = (a', b') = (a', BC) + (BC, CA) + (CA, b') = (BC, a) + BC, CA) + (CA, b) = 2(BC, CA) = (QA', AB')
do đó P thuộc (QA'B').
tương tự P thuộc (QB'C'), (QC'A') tức P là giao của cả 3 đường tròn trên. suy ra P trùng Q.