Chủ đề này có 1 trả lời

[nhatminh97]

I là tâm nội tiếp tam giác ABC. IA,IB,IC cắt (ABC) lần lượt tại D, E, F.CMR:
$\frac{ID}{IA}+\frac{IE}{IB}+\frac{IF}{IC}\geq 3$

[nguyenthehoan]

Ta có $\widehat{DIB}=\widehat{DBI}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}}{2}$

$\Rightarrow DI=DB$.

Vẽ DM vuông góc BC, IN vuông góc AB.

$\widehat{DBM}=\widehat{IAN}$

$\Rightarrow \Delta AIN\sim \Delta BDM$

$\Rightarrow \frac{ID}{IA}=\frac{BD}{IA}=\frac{BM}{NA}=\frac{a}{b+c-a}$

Tương tự suy ra

$\Rightarrow \frac{ID}{IA}+\frac{IE}{IB}+\frac{IF}{IC}=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}$

=$\frac{a^{2}}{a(b+c-a)}+\frac{b^{2}}{b(c+a-b)}+\frac{c^{2}}{c(a+b-c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}

{2(ab+bc+ca)-a^{2}-b^{2}-c^{2}}\geq 3$

Ta có dpcm.