Chủ đề này có 1 trả lời

[gbao198]

   Cho tam giác có diện tích S nội tiếp đường tròn bán kính R chứng minh rằng:

   $   \frac{3\sqrt{3} R^{2} }{4} \geq S $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 19-03-2013 - 12:57

[BlackSelena]

Chẳng qua đây là chứng minh 1 tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính cho trước thì diện tích lớn nhất đạt được khi nó là tam giác đều !

Vẽ tam giác thường ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r
Ta có diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;r) có S =$\dfrac{r^23\sqrt{3}}{4}$
Gọi I là trung điểm cung BC có chứa A
Dựng OI vuông góc BC tại H và cắt (O;r) tại K
$S_{ABC} < S_{BIC}$
$S_{BCI} = IH.HB$
$\Rightarrow S_{BIC}^2=HB^2.IH^2$
Lại có: $BH^2=HK.HI$
Do đó $S_{BIC}^2=KH.IH^3=(2r-IH)IH^3=\dfrac{IH^3}{3}(6r-3IH)$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
$HI+HI+HI+(6r-3HI)\geq 4\sqrt[4]{HI^3.(6r-3IH)}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}r\geq 4\sqrt[4]{HI^3.(6r-3IH)}$
$\Rightarrow \dfrac{81}{16}r^4\geq IH^3(6r-3IH)\Leftrightarrow \dfrac{27}{16}r^2\geq IH^3.(2r-IH)\Rightarrow \dfrac{3\sqrt{3}}{4}R^2\geq \sqrt{IH^3(2r-IH)}=S_{BIC}$
Đẳng thức xảy ra khi ........