Chủ đề này có 2 trả lời

[GSXoan]

Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3
Tìm min Q=$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}+\frac{(b+c-a)^{3}}{2a}+\frac{(c+a-b)^{3}}{2b}$

[thanhdotk14]

Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3
Tìm min Q=$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}+\frac{(b+c-a)^{3}}{2a}+\frac{(c+a-b)^{3}}{2b}$

Bài giải:
Vì $a+b+c=3$

$\Rightarrow b+c-a=3-2a,c+a-b=3-2b,a+b-c=3-2c$
Do đó:
$$P=\sum \frac{(3-2c)^3}{2c}$$
$$=\sum \frac{\left ( 3-2c \right )^4}{2c\left ( 3-2c \right )}$$
$$\geq \frac{\left [ \sum \left ( 3-2c \right )^2 \right ]^2}{\sum 2c\left ( 3-2c \right )}$$
$$=\frac{\left [ 27-12\sum a+4\sum a^2 \right ]^2}{6\sum a-4\sum a^2}$$
$$\geq \frac{\left ( 27-12\sum a+\frac{4\left ( \sum a \right )^2}{3} \right )^2}{6\sum a-\frac{4\left ( \sum a \right )^2}{3}}$$
$$=\frac{3}{2}$$
Vậy $Min P=\frac{3}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 23-03-2013 - 06:20

[luuvanthai]

AD bdt cô si cho 3 số không âm có:
$\frac{(a+b-c)^{3}}{2c}+\frac{c}{2}+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{2}(a+b-c)$
Xây dựng 2 bdt tương tự cộng lại là xong