Chủ đề này có 12 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Thời gian làm bài: 120'

Câu 1:

a) Tìm (x;y) thoả mãn: $x^2+2y^2=2(xy-2+2y)$

b) CMR với mọi a nguyên thì $M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1$ là số chình phương.

Câu 2: 

a) Cho $a+b=1$ Tính $C=2(a^3+b^3)-3(a^2+b^2)$

b) Cho a+b+c=0. CMR: $a^3+b^3+c^3=3abc$

Câu 3: Giải các PT sau;

a) $(x^2+x)^2+4(x^2+x)=12$

b) $\frac{x-1}{2012}+\frac{x-2}{2011}=\frac{x-3}{2010}+\frac{x-4}{2009}$

Câu 4:

a) Cho tam giác ABC trung tuyến AM, Qua D trên BC kẻ đ/thẳng song song với AM cát AB, AC tại E & F.

    a1) CMR: DE+DF=2AM

    a2) Đ/thẳng qua A sog song với BC cắt EF tại N; CMR N là trung điẻm của EF.

b) Cho tam giác ABC và O nằm trong tam giác. AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P.

Tìm Min: $\sqrt{\frac{AO}{OM}}+\sqrt{\frac{BO}{ON}}+\sqrt{\frac{CO}{OP}}$

Câu 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR:

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 28-03-2013 - 22:05

[Trang Luong]

Bài 5:

Ta có :$\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{(a+b)+(a+c)}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{ab}{a+b} +\frac{ab}{a+c}\right )$

Tương tự:

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{c+1}\leq \frac{1}{4}\left ( \frac{a(b+c)}{b+c}+\frac{b(a+c)}{c+a}+\frac{c(a+b)}{a+b} \right )=\frac{1}{4}$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3

[Trang Luong]

Bài 1: Nhầm đề rùi bạn ơi. Đề đúng là  $x^{2}+2y^{2}=2(xy+2y-2)$ cơ mà

$x^{2}+2y^{2}=2(xy+2y-2)\Rightarrow x^{2}+2y^{2}-2xy-4y+4=0\Leftrightarrow (x-y)^{2}+(y-2)^{2}=0$

[Yagami Raito]

Câu 2 Có cả cái hằng đẳng thức rồi, không cần viết chắc mọi người đã biết 

Hằng Đẳng Thức

[Yagami Raito]

Câu 3 b)Cộng 1 vào mỗi số hạng là xong ! 

[Christian Goldbach]

Thời gian làm bài: 120'

Câu 1:

a) Tìm (x;y) thoả mãn: $x^2+2y^2=2(xy+2x+2y)$

b) CMR với mọi a nguyên thì $M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1$ là số chình phương.

Câu 2: 

a) Cho $a+b=1$ Tính $C=2(a^3+b^3)-3(a^2+b^2)$

b) Cho a+b+c=0. CMR: $a^3+b^3+c^3=3abc$

Câu 3: Giải các PT sau;

a) $(x^2+x)^2+4(x^2+x)=12$

b) $\frac{x-1}{2012}+\frac{x-2}{2011}=\frac{x-3}{2010}+\frac{x-4}{2009}$

Câu 4:

a) Cho tam giác ABC trung tuyến AM, Qua D trên BC kẻ đ/thẳng song song với AM cát AB, AC tại E & F.

    a1) CMR: DE+DF=2AM

    a2) Đ/thẳng qua A sog song với BC cắt EF tại N; CMR N là trung điẻm của EF.

b) Cho tam giác ABC và O nằm trong tam giác. AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P.

Tìm Min: $\sqrt{\frac{AO}{OM}}+\sqrt{\frac{BO}{ON}}+\sqrt{\frac{CO}{OP}}$

Câu 5: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1.CMR:

$\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\leq \frac{1}{4}$

Câu

$2(a^3+b^3)-3(a^2+b^2)=2(a+b)^3-3(a^2+2ab+b^2)=2(a+b)^3-3(a+b)^2=2-3=-1$

[Trang Luong]

Câu 2 Có cả cái hằng đẳng thức rồi, không cần viết chắc mọi người đã biết 

Hằng Đẳng Thức

Ê bạn ơi, ko đc sd Hằng đẳng thức đâu:

Ta có : $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)-3abc=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(a+b)c-3ab(a+b+c)=(a+b+c)\left [(a+b+c)^{2}-3(ac+bc+ab) \right ]=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)=0$

[Trang Luong]

Câu 1: b)

$(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1=(a^{2}+5a+4)(a^{2}+5a+6)+1=(a^{2}+5a+5)^{2}-1+1=(a^{2}+5a+5)$ là số chính phương

[Trang Luong]

Câu 2: 

a) Cho $a+b=1$ Tính $C=2(a^3+b^3)-3(a^2+b^2)$

Ta có : $C=2(a^{3}+b^{3})-3(a^{2}+b^{2})=2(a^{2}+b^{2}-ab)(a+b)-3(a^{2}+b^{2})=-(a+b)^{2}=-1$

[Trang Luong]

Câu 3: Giải các PT sau;

a) $(x^2+x)^2+4(x^2+x)=12$

Ta có :$(x^{2}+x)^{2}+4(x^{2}+x)=12\Rightarrow (x^{2}+x+2)^{2}=16$ Vì $(x^{2}+x+2)^{2}>x^{2}+x+\frac{1}{4}\geq 0\Rightarrow x^{2}+x+2=4\Rightarrow \left (x+\frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{9}{4}$

Đến đây các bạn tự làm nốt

[phatthemkem]

Thời gian làm bài: 120'

Câu 1:

a) Tìm (x;y) thoả mãn: $x^2+2y^2=2(xy-2+2y)$

b) CMR với mọi a nguyên thì $M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1$ là số chình phương.

$M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1=\left [ (a+1)(a+4) \right ]\left [ (a+2)(a+3) \right ]+1=(a^2+5a+4)(a^2+5a+6)+1$

$=(a^2+5a+5-1)(a^2+5a+5+1)+1=(a^2+5a+5)^2-1+1=(a^2+5a+5)^2$

$\Rightarrow dpcm$

[DarkBlood]

Câu 4:

a) Cho tam giác ABC trung tuyến AM, Qua D trên BC kẻ đ/thẳng song song với AM cát AB, AC tại E & F.

    a1) CMR: DE+DF=2AM

    a2) Đ/thẳng qua A sog song với BC cắt EF tại N; CMR N là trung điẻm của EF.

b) Cho tam giác ABC và O nằm trong tam giác. AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P.

Tìm Min: $\sqrt{\frac{AO}{OM}}+\sqrt{\frac{BO}{ON}}+\sqrt{\frac{CO}{OP}}$

1)

a) Ta có:

$\frac{DE}{AM}=\frac{BD}{BM}=\frac{2BD}{BC}$

 

$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}=\frac{2CD}{BC}$

 

$\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{2(BD+CD)}{BC}=2$

 

$\Rightarrow DE+DF=2AM$

 

b) Tứ giác $AMDN$ là hình bình hành nên $AN=DM$

Ta có:

$\bullet\ \ \frac{EN}{DE}=\frac{AN}{BD}=\frac{DM}{BD}$

 

$\Rightarrow \frac{EN}{DE+EN}=\frac{DM}{BD+DM}$

 

$\Rightarrow \frac{EN}{DN}=\frac{DM}{BM}=\frac{2DM}{BC}$

 

 

$\bullet\ \ \frac{FN}{FD}=\frac{AN}{CD}=\frac{DM}{CD}$

 

$\Rightarrow \frac{FN}{FD-FN}=\frac{DM}{CD-DM}$

 

$\Rightarrow \frac{FN}{DN}=\frac{DM}{CM}=\frac{2DM}{BC}$

 

 

Do đó: $\frac{EN}{DN}=\frac{FN}{DN}$

 

Vậy $EN=FN.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 31-03-2013 - 00:58

[DarkBlood]

Câu 4:

b) Cho tam giác ABC và O nằm trong tam giác. AO,BO,CO cắt BC,CA,AB tại M,N,P.

Tìm Min: $\sqrt{\frac{AO}{OM}}+\sqrt{\frac{BO}{ON}}+\sqrt{\frac{CO}{OP}}$

Đặt $S_{AOB}=S_1,\ S_{AOC}=S_2,\ S_{BOC}=S_3,\ S_{ABC}=S$

Ta có:

$\frac{AM}{OM}=\frac{S}{S_1}\Leftrightarrow \frac{OM+OA}{OM}=\frac{S_1+S_2+S_3}{S_1}$

 

$\Rightarrow \frac{OA}{OM}=\frac{S_2}{S_1}+\frac{S_3}{S_1}$

 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 

$\frac{OA}{OM}=\frac{S_2}{S_1}+\frac{S_3}{S_1}\geq 2\sqrt{\frac{S_2.S_3}{S_1^2}}$ $($Dấu $"="$ xảy ra khi $S_2=S_3)$

 

Tương tự:

$\frac{OB}{ON}\geq 2\sqrt{\frac{S_3.S_1}{S_2^2}}$ $($Dấu $"="$ xảy ra khi $S_3=S_1)$

 

$\frac{OC}{ON}\geq 2\sqrt{\frac{S_1.S_2}{S_3^2}}$ $($Dấu $"="$ xảy ra khi $S_1=S_2)$

 

Do đó:

$\frac{OA}{OM}.\frac{OB}{ON}.\frac{OC}{ON}\geq 2^3\sqrt{\frac{(S_1.S_2.S_3)^2}{(S_1.S_2.S_3)^2}}=8$ $($Dấu $"="$ xảy ra khi $S_1=S_2=S_3)$

 

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:

$\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{OA}{OM}.\frac{OB}{ON}.\frac{OC}{ON}}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{8}}=3\sqrt{2}$ 

 

Dấu $"="$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} S_1=S_2=S_3\\ \frac{OA}{OM}=\frac{OB}{ON}=\frac{OC}{OP} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{S}{S_1}=3\\ \frac{S}{S_2}=3\\ \frac{S}{S_3}=3\\ \frac{AM}{OM}=\frac{BN}{ON}=\frac{CP}{OP} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{AM}{OM}=\frac{BN}{ON}=\frac{CP}{OP}=3$

________________

Đoạn cuối được kết luận $O$ trong tâm tam giác $ABC$ không nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 31-03-2013 - 01:34