Chủ đề này có 12 trả lời

[E. Galois]

Ngày thi: 30/03/2013. Thời gian làm bài: 180 phút.

 

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) $3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10$

b) $\sin 2x + \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 2 = 0$

 

Câu 2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt x}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\y\sqrt{x^2+1}=2x+\sqrt{3x^2+3} \end{matrix}\right.$$

 

Câu 3.

a) Tìm giới hạn $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

b) Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=2&\\u_{n+1}=\frac{u_n}{1+5u_n}&, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $u_n = \frac{2}{2521}$

 

Câu 4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có

$$AB=a,AD=2a,AA'=a,\widehat{BAD}=120^o, \widehat{A'AB}=\widehat{A'AD}=90^o$$

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD, DD'$; $K$ là điểm đối xứng với $N$ qua $C$.

a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(B'MN)$ và hình hộp.

b) Tính độ dài $KM$

c) Điểm $E$ thuộc đường thẳng $MB'$ sao cho $CE$ song song với mặt phẳng $(BA'C')$. Tính tỉ số $\frac{ME}{MB'}$.

 

Câu 5. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$S = a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a^3}+\frac{5}{b^3}+\frac{5}{c^3}$$

[nthoangcute]

Câu 5. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$S = a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a^3}+\frac{5}{b^3}+\frac{5}{c^3}$$

 

Câu này dễ:
$$a^2+\frac{5}{a^3}+13a=a^2+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+...+\frac{1}{a^3}+a+a+a+...+a \geq 19$$

Suy ra $S \geq 57-13(a+b+c) \geq 18$

[hoangtrong2305]

Câu 3.

a) Tìm giới hạn $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

 

 

$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-3+3-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{3x-6+4-2x}{(x-2)(x^{2}+x+1)[(\sqrt[3]{3x+21})^{2}+3\sqrt[3]{3x+21}+9](3+\sqrt{2x+5})}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{(x-2)(x^{2}+x+1)[(\sqrt[3]{3x+21})^{2}+3\sqrt[3]{3x+21}+9](3+\sqrt{2x+5})}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{1}{(x^{2}+x+1)[(\sqrt[3]{3x+21})^{2}+3\sqrt[3]{3x+21}+9](3+\sqrt{2x+5})}=\frac{1}{1134}$

[VNSTaipro]

b) Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=2&\\u_{n+1}=\frac{u_n}{1+5u_n}&, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$

Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $u_n = \frac{2}{2521}$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=\frac{1+5u_{n-1}}{u_{n-1}}=\frac{1}{u_{n-1}}+5$

$\Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=\frac{1}{u_{1}}+5(n-1)=\frac{1}{2}+5(n-1)$

Vì $u_{n}=\frac{2}{2521}\Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=\frac{2521}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}+5(n-1)=\frac{2521}{2}$

$\Rightarrow n=252$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 30-03-2013 - 16:26

[VNSTaipro]

Câu 2. Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt x}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\y\sqrt{x^2+1}=2x+\sqrt{3x^2+3} \end{matrix}\right.$$

PT $(1)$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+y}{x}=\frac{2(\sqrt{x}+y)}{y}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=-y$ hoặc $\frac{1}{x}=\frac{2}{y}$

Đến đây thế vào PT $(2)$ là ok

[N H Tu prince]

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a) $3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10$

ĐK:$x\ge \frac{2}{3}$

$3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10\Leftrightarrow 3(\sqrt[3]{2x+4}-2)+2(\sqrt{3x-2}-2)=0$

$\Leftrightarrow \frac{6(x-2)}{\sqrt[3]{(2x+4)^2}+2\sqrt[3]{2x+4}+4}+\frac{6(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}=0$

$\Leftrightarrow 6(x-2)(\frac{1}{\sqrt[3]{(2x+4)^2}+2\sqrt[3]{2x+4}+4}+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+2})=0$

$\Leftrightarrow 6(x-2)(\frac{1}{(\sqrt[3]{2x+4}+1)^2+3}+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+2})=0$

Do $\frac{1}{(\sqrt[3]{2x+4}+1)^2+3}+\frac{1}{\sqrt{3x-2}+2}>0$

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 30-03-2013 - 16:57

[N H Tu prince]

b) $\sin 2x + \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 2 = 0$

$\sin 2x + \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 2 = 0$

$\Leftrightarrow \cos x(2\sin x-1)-(2\sin x-1)(\sin x+3)=0$

$\Leftrightarrow (2\sin x-1)(\cos x-\sin x-3)=0$

Với $2\sin x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi$

Với $\cos x-\sin x-3=0$ ta có hệ

$\left\{\begin{matrix}
 \cos x-\sin x=3\\
\sin^2x+cos^2x=1
\end{matrix}\right.$,hệ này vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi N H Tu prince: 30-03-2013 - 16:56

[Mai Xuan Son]

Câu hệ lặp, nó xuất hiện nhiều rồi(các bạn có thể xem tập pt hsg 2010 do anh Lữ tổng hợp) 

Đề này ko khách quan lắm

[haiphong08]

$\Rightarrow n=252$

n=253

[haiphong08]

$\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-3+3-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$

 

$=\lim_{x\to 2}\frac{3x-6+4-2x}{(x-2)(x^{2}+x+1)[(\sqrt[3]{3x+21})^{2}+3\sqrt[3]{3x+21}+9](3+\sqrt{2x+5})}$

 

Có lẽ dòng 3  phải tách thành 2 phân thức mới đúng.

[thuongdinh97]

Câu này dễ:
$$a^2+\frac{5}{a^3}+13a=a^2+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+...+\frac{1}{a^3}+a+a+a+...+a \geq 19$$

Suy ra $S \geq 57-13(a+b+c) \geq 18$

co si la xong

[phongtn3]

Câu này dễ:
$$a^2+\frac{5}{a^3}+13a=a^2+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}+...+\frac{1}{a^3}+a+a+a+...+a \geq 19$$

Suy ra $S \geq 57-13(a+b+c) \geq 18$

Cô-si cho 19 số à? không ổn rồi...

[etucgnaohtn]

ĐK : ... 
ĐẶT $\left\{\begin{matrix}\sqrt[3]{2x+4}= 2+2t & & \\\sqrt{3x-2}=2-3t & & \end{matrix}\right.$ ( ĐK : t .... )

Ta có hệ mới $\left\{\begin{matrix}2x+4=8t^3+24t^2+24t+8 (1) & & \\ 3x-2=9t^2-12t+4 (2) & & \end{matrix}\right.$

3 PT (1) - 2 PT (2) vế theo vế , ta được : $24t^3+54t^2+96t = 0$ $\Rightarrow t=0$

Dễ thấy với t=0 ( tm đkxđ ) thì x=2 ( tm đkxđ )
KL :  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x duy nhất là 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 13-05-2013 - 11:10