Cho $a,b,c >0 $ và $ a+b+c=1$
Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}} \leq \frac{3}{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrVirut: 30-03-2013 - 17:01
$$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}}\leq \frac{3}{2}$$
Bắt đầu bởi MrVirut, 30-03-2013 - 16:57
#1
Đã gửi 30-03-2013 - 16:57
MrVirut
-
- Thành viên
-
- 74 Bài viết
Hạ sĩ
#2
Đã gửi 30-03-2013 - 17:23
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $a,b,c >0 $ và $ a+b+c=1$
Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{\frac{ab}{ab+c}} \leq \frac{3}{2}$$
Lời giải. Ta có $$\sqrt{ \frac{ab}{ab+c}}= \sqrt{ \frac{ab}{ab+(a+b+c)c}}= \sqrt{ \frac{ab}{(c+a)(c+b)}} \le \frac 12 \left( \frac{a}{c+a}+ \frac{b}{b+c} \right)$$
Tương tự thì $$\begin{array}{l} \sqrt{ \frac{bc}{bc+a}} \le \frac 12 \left( \frac{b}{a+b} + \frac{c}{a+c} \right) \\ \sqrt{ \frac{ca}{ca+b}} \le \frac 12 \left( \frac{c}{b+c}+ \frac{a}{b+a} \right) \end{array}$$
Cộng lại ta có đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c= \frac 13$. $\blacksquare$
- banhgaongonngon, MrVirut, IloveMaths và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
