Vì thế nên việc nghiên cứu các toán tử tự liên hợp trở nên được chú ý. Khi nói đến định lý Phổ, người ta thường nghĩ tới sự mở rộng một kết quả nổi tiếng từ đại số về việc biến đổi một ma trận đối xứng thành dạng ma trận đường chéo cho những toán tử vô hạn chiều trên một không gian Hilbert. Định lý Phổ là một trong những kết quả quan trọng và có ý nghĩa nhất trong Lý thuyết toán tử và trong Lý thuyết Phổ . Nó được ứng dụng rất nhiều trong toán và toán - lý. tuỳ vào ứng dụng mà Định lý được phát biểu với nhiều dạng khác nhau. Tuy nhiên ta cũng có thể đưa ra một phát biểu tạm gọi là tổng quát, từ phát biểu này có thể đưa ra những phát biểu khác, như sau: mỗi tập hợp các toán tử giao hoán tự liên hợp (commutative self adjoint operators) đồng thời có thể biểu diễn ở dạng tích của các toán tử với những hàm số đo được bội hóa trong không gian Hilbert L^2.
Trong 4 dạng phát biểu của định lý Phổ thì có cách phát biểu thứ 4 là vẫn chưa biết được nhiều. Nó được dùng trong việc giải quyết vấn đề Gleason - Mackey, được coi là một trong những vấn đề then chốt trong lý thuyết độ đo không giao hoán (mình cũng có tham vọng mở một topic về vấn đề này, nhưng phải có một topic về lý thuyết đại số von neumann trước đã). Mình muốn làm cho xong 3 cái phát biểu của định lý và sẽ cùng các bạn tìm cách chứng minh cho trường hợp thứ 4. Cùng một định lý nhưng nếu nó được ứng dụng trong những hoàn cảnh khác nhau thì có một chút khác nhau, trong đó có độ phức tạp của nó.
Mục đích của topic này là mình muốn chia sẽ cùng các bạn chứng minh của một định lý quan trọng trong giải tích hàm, đó là "spectral theorem". Định lý này được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, phụ thuộc vào lĩnh vực nó được ứng dụng. Ở trong topic này mình đưa ra 4 dạng phát biểu của nó, trong đó 3 dạng sẽ được chứng minh một cách chi tiết.
Với trình độ tiếng Anh kém của mình dưới sự tiếp sức của bác Stoke, mong sẽ trình bày được hết ý mình. Một số chứng minh đơn giản mình không đưa ra, coi như là bài tập để các bạn có hứng thú hơn. Nếu không có kết quả thì mình sẽ đưa lên lời giải.
Một số sách tham khảo sau:
1. theory of linear operators in hilbert space. Akhiezer N.I., Glazman I.M.
2. modern methods of math.physic. reed. simon.
Các phát biểu của spectral theorem:
(I) Spectral theorem: Cho H là không gian hilbert (hs). Khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L^{2}(R,\mu), trong đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mu -- độ đo Lebeg nhận được từ sự thác triển một độ đo Borel http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?lim_{x->-\infty}\sigma(x),lim_{x->+\infty}\sigma(x)=||f||^2. Tồn tại một unitary operator http://dientuvietnam...etex.cgi?U_f=1.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?UR(\lambda)U^{-1}=M_{\dfrac{1}{\lambda-x}}.
Ở đây: http://dientuvietnam...?T=U^{-1}M_{a}U).
(III) Spectral theorem phát biểu dưới ngôn ngữ decomposition of unit (hay unit decomposition): Giữa tập hợp các self -adjoint operators T và tập hợp các unit decompositions (http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma-algebra trên tập R vào tập hợp các projections, nên có thể gọi là "độ đo nhận giá trị projection"): Tồn tại mối quan hệ 1-1 giữa tập hợp self -adjoint operators T và tập hợp các "độ đo nhận giá trị projections" p(.) và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\overline{G(T)} is graph of linear oper. Nếu
