Chủ đề này có 39 trả lời

[hello]

hay quá ! đúng cái em đang quan tâm ,em thích "operator " ghê cơ .sách việt thì " mò kim đáy bể " sách tiếng anh với chuyên khỏa về nó cũng chẳng thấy có mấy ( ở trong thư viện trường em ,mới đây có mấy cuốn mới xuất bản ,như chưa về kho ,thế mới cay chứ ! ,nói tới operatot algebra,operator analysic ,hay tuyệt ! )tuy nhiên may mà vấn có cuốn để xem ,cũng khá hay " pertubation of linear operator ".nhưng trong operator có nói gì tới "toán tử sinh ,toán tử hủy " không thế ,bạn bũileanh ?

[quantum-cohomology]

nhưng trong operator có nói gì tới "toán tử sinh ,toán tử hủy " không thế

Cái này là quantum mechanics, sao lại cho vào toán được.

[hoadaica]

lý thuyết toán tử nói chung bắt nguồn từ những ứng dụng trong cơ học lượng tử, bây giờ thì ở khắp nơi rồi nên không có gì lạ.
Còn sách về cái này thì thiếu gì. Về C*-algebra, đại số von newmann (về cái này mình có tới hơn 10 cuốn), về ứng dụng trong hình học không giao hoán (của V. Jone và Takesaki - 3 tập) ... Có cả một mảng ứng dụng trong phương trình toán lý nữa.
Toán học mênh mông!

[BũiLeAnh]

Tôi có bài này giải hoài khônng ra. Nếu bạn nào giải được thì chỉ giúp nha (để khỏi mất công gõ dấu tôi viết bằng tiếng Anh):

Let X be a Banach space and B(X) be the space of bounded linear operators on X. Let I be the subspace of B(X) containing all the finite rank operators. Prove that I is a closed ideal of B(X) and contained in every proper ideal of B(X).

Chú thích: Cái ý thứ nhất thì quá đơn giản. Tôi bí cái ý thứ hai. Thank you very much for your help. Vì việc tiếp cận các toán tử compact (một đối tượng lý thú để nghiên cứu phổ) có thể được làm việc gián tiếp qua các toán tử finite rank nên tôi hi vọng rằng bài tập này không lạc đề.

[BũiLeAnh]

To Hello: Tôi cũng chỉ mới đọc Operator Theory gần đây nên không rành lắm. Tôi đang đọc cuốn: "Banach algebra technique in Operator theory" của Ronald Douglas. Theo tôi biết thì cuốn này cũng tương đối phổ biến ở Mỹ. Nhưng nói thực tình thì nó viết tắt quá nên tôi cũng phải tham khảo những cuốn khác. Tôi nghĩ cuốn dễ đọc nhất là "A course in functional analysis" của J.B. Conway.

Cả hai cuốn trên theo như bạn tôi nói thì đều free ở trên mạng rồi (tất nhiên là illegal). Rất tiếc là tôi không biết cách lấy để chỉ cho bạn.

[Kakalotta]

Mình không hiểu bạn giải được thì tài quá.
Nếu X là không gian Hilbert thì bao đóng của không gian các toán tử hạng hữu hạn thì là không gian các toán tử compact.
Và ta có
0-->K(H)--->B(H)--->B(H)/K(H)--->0
thương này được gọi là đại số Calkin và là đại số đơn.

[BũiLeAnh]

Bài toán mà tôi post lên có ghi nhầm một chỗ: "Prove that I is a ideal of B(X)" (chứ không phải là "CLOSED ideal").

[BũiLeAnh]

To Kakalotta: Câu trả lời của bạn có phải là để phủ định "tính đóng " của I ? Sau khi post bài toán ấy lên tôi thấy mình bị nhầm nhưng chưa kịp sửa. À, bài toán ấy nếu cho X là không gian Hilbert thì tương đối đơn giản (cho ý thứ hai) vì nó có khái niệm trực giao và lời giải có thể dựa vào đó. Nhưng trong không gian Banach thì tôi chịu.

[Kakalotta]

Trên giá sách của mình có các cuốn sau về đại số toán tử:
C*-algebra, Dixmier
Elements of Non. Geom
K theory for operator Algebras
A user guide to operator algebra.
Hilbert C*-module
K- theory and C*-algebras
Mấy cái trò này học cũng hay đấy.

[pizza]

Prove that I is a closed ideal of B(X) and contained in every proper ideal of B(X).

Tơ thử cm ý 2 thế này xem có đc ko nhé . Gs phản chứng thì ta sẽ có 1 iđêan I không tầm thường của đại số các toán tử hữu hạn chiều .

Cố định một không gian con n chiều của X , kí hiệu là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X_n . Xét các toán tử có ảnh là không gian con của X_n . Đó cung là 1 vành và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I_n khi đó vẫn là ideal .

Tiếp tục thu hẹp miền xác định họ các tt vừa rồi xuống http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X_n . Ta vẫn có I_n là ideal .

Điều này hiển nhiên vô lý vì chẳng hạn chọn n=1 ( khoe nào khoe nào : n tùy ý cũng không sao vì theo đl Artin-wedderburn ) .

Các đ.c kiểm tra hộ tớ nhé .

[Kakalotta]

. Đó cung là 1 vành và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?I_n khi đó vẫn là ideal .

Are you sure?

[pizza]

Uh,

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 25-03-2006 - 10:35

[hoadaica]

mình không hiểu lời giải của pizza lắm (vấn đề ở tiếng Việt!).
Tiện đây có một bài toán liên quan tới các operator hữu hạn chiều, các bạn xem sao: chứng minh rằng nếu T là operator hữu hạn trên một không gian hilbert thì tồn tại một "lưới" (net) operator hữu hạn chiều hội tụ đến T trong topo yếu.

[hoadaica]

Câu hỏi này có thể rất khó, dành cho ai đã bắt đầu học về algebra von neumann: cho p, q - projection trong von neumann algebra M. Tìm dạng cụ thể của algebra von neumann {p,q}".
Ngược lại, cho M là algebra von neumann loại I_2. Hãy tìm 2 projections p,q sao cho M={p,q}".

[hoadaica]

Đọc mộtcuốn sách có nói nhiều về toán tử hữu hạn chiều (tthhc), thấy cũng hay hay nên gửi lên anh em cùng bàn cho vui.
Một dạng cụ thể của tthhc thì ai cũng biết rồi. Mình muốn nói tới một vấn đề có liên quan đến nó: (finite, compact ...) approximation property trên một không gian banach. Tính chất này có thể được hiểu một cách đơn giản là "với mọi operator trên không gian banach đều tồn tại một lưới operators hội tụ điểm đến nó". Nó được phát biểu như sau: mọi không gian banach đều có tính chất này hay không? Ta thấy một điều là nếu mọi khong gian banach đều có tính chất này thì quá tuyệt vì mọi toán tử ta có thể coi như là một tthhc. problem tồn tại trong mấy chục năm trời, đến năm 1973 thì Enflo đã đưa ra một phản ví dụ khá nổi tiếng: a counterexample to the approximation propety in banach space. Ông xây dựng không gian hàm C[0,1] tất cả hàm phức nhưng trên trường số thực. Một thú vị trong phản ví dụ của Enflo là ông có dùng một nguyên tắt đơn giản của toán sơ cấp : nguyên tắc Dirichle, nhưng cho trường hợp độ đo (một tập hợp có độ đo dương thì nó phải khác tập rỗng). Hiển nhiên trước khi đưa ra phản ví dụ ông phải đưa ra một criterion một không gian banach không có approx. property, sau đó mới đi xây dựng phản ví dụ. Sau đó ít năm có 2 nhà toán học lại đưa ra tiếp một phản ví dụ về không gian banach có tính chất compact appro. property nhưng không có appro. property... Một câu hỏi được đưa ra nhưng không biết có câu trả lời hay chưa: không gian các toán tử hữu hạn trên một không gian hilbert có tính chất này không? Và đối với von neumann algebras thì câu trả lời như thế nào?

Một vấn đề nữa đó là định lý Hahn-Banach cho operator. ai học giải tích hàm cũng biết định lý này cho trường hợp functional, nhưng cho operator thì hình như có vẻ khó hiểu, không biết nó đúng hay không.

Mình muốn nói thêm về một định lý rất nổi tiếng Gleason và một bài toán đến nay vẫn chưa có lời giải. Các bạn có thể tìm phát biểu của nó trên internet, ví dụ tại đây: http://www.math.fau....s/glhasrev.html. Tại trang này chỉ có chứng minh cho trường hợp R^3, trong trường hợp tổng quát (cho không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều) có thể mở rộng từ hết quả này.
Bây giờ ta xét frame function từ mặt cầu S vào nhóm thặng dư Z_2 (tức là hàm chỉ nhận 2 giá trị 0,1, với các phép tính: 1+1=0,1+0=1, 0+0=0) . Câu hỏi đặt ra là có tồn tại một frame function với weight bằng 1 hay không. Trong trường hợp n>=4, đã có lời giải cụ thể là không (lời giải đựoc đưa ra năm 2003 do nhóm nhà toán học người Séc), nhưng trong trường hợp n=3 thì bài toán vẫn chưa có lời giải.
Nói thêm về định lý Gleason, ông chứng minh nó năm 1957, từ bài báo đó đã khởi động một hướng nghiên cứu mới trong toán về lý thuyết độ đo và tích phân không giao hoán. Hàng loạt những vấn đề được đặt ra, trong đó có một vấn đề đã được giải quyết gần như trọn vẹn: vấn đề tuyến tính Mackey-Gleason problem: một độ đo trên lattic of projections trên một không gian Hilbert có thể thác triển thành một finite functional trên cả tập hợp operators trên không gian đó hay không? Vấn đề này sau đó được phát biểu cho trường hợp Von neumann algebras và cũng đã đựơc giải quyết khá hoàn chỉnh sau mấy chục năm tồn tại. Tiếp đó người ta lại mở rộng nó ra bằng cách thay viêc thác triển một measure bởi việc thác triển một sign-measure, tức là measure có nhận giá trị dương. Sau đó lại mở rộng thêm cho trường hợp completely additive sign-measures. Nhưng đến đây lại nảy sinh thêm một vấn đề nữa, liệu rằng các completely additive sign-measures hữu hạn hay không? Nếu vô hạn thì gặp phải khó khăn. Gleason đã đưa ra một phản ví dụ cho trường hợp không gian Hilbert hữu hạn chiều, có tồn tại một completely additive sign-measure vô hạn. Nhưng kết quả thú vị cho trương hợp không gian hilbert vô hạn chiều là mọi completely additive sign-measure đều hữu hạn, chứng minh dựa trên khái niệm frame function và hàm dạng frame function....

Một thú vị nhỏ nữa mà mình đọc được trong cuốn sách nói về khoa toán trường ĐHTH Moscow: định lý nổi tiếng về không gian và topo Tykhonov (product của cấc không gian compact là kg compact) được ông chứng minh khi còn là sv, lúc mới 19 tuổi!

[hoadaica]

thật đáng buồn vì nhiều người nói rằng bây giờ chẳng ai học cái thứ vớ vẫn này cả. Học mấy cái thứ này lắm chuyện. Muốn ra một sản phẩm thiệt khó khắn lắm.
Cách đây không lâu có đọc một cuốn sách về noncommutative geometr y của Conne, thấy lạ một điều là ông nhận xét về hình học không giao hoán và độ đo không giao hoán có một liên hệ rất mật thiết với nhau, chỉ khác ở chỗ đó là các cách tiếp cận khác nhau với một vấn đề. Vì thế nên có cái Jone 's polinomial chẳng lạ lẫm gì, hà hà. Nhưng sao vẫn thấy cái hướng về noncommutative measure theory nó chết thế nào ấy, còn thằng bạn bên cạnh vẫn phát triển đều. Còn về lý thuyết sx không giao hoán, thiệt chẳng khác tí nào...

[hoadaica]

Các vấn đề trên trong lý thuyết độ đo không giao hoán, lý thuyết toán tử ... mấy chục năm nay được phát triển trong một không gian rộng hơn không gian Hilbert: không gian Krein (nhà toán học Xô Viết), tức là trong không gian này norm của các vectors có thể nhận giá trị âm, dương, hoặc 0. Đặc biệt trong lý thuyết này chưa có phát biểu và chứng minh định lý phổ cho các a.s. operators, chỉ có định lý phổ cho các "toán tử dương". Bên cạnh đó còn nhiều thứ có thể nghiên cứu được, ví dụ như đại số von neumann, C*-algebra, measures....
Mình nói qua khái niệm không gian Krein. Có nhiều hướng tiếp cận với khái niệm này, nhưng có lẽ đơn gian nhất là xuất phát từ khái niệm quen thuộc: không gian Hilbert. Khi đưa khái niệm không gian Hilbert thì ta có nói đến 3 tiên đề của norm sinh từ tích vô hướng. Thì cái axiom đầu tiên nói là: nếu ||x||=0 thì x=0. Nếu ta làm yếu cái này thì ta sẽ nhận được một loại không gian khác. Xét một a.s. partial isometry J trong không gian Hilbert H, và ta xét trên H một scalar product mới như sau: [x,y]=(Jx,y), "()" là scalar product cũ trong H.
Với sự mở rộng này dễ dàng chỉ ra được những x thuộc H mà [x,x] lớn, nhỏ hoặc bằng 0.
Không gian này rộng hơn rất nhiều không gian Hilbert, có có thể viết dưới dạng direct sum của 2 không gian Hilbert, 1 cái "âm" và một cái "dương".
Không biết các bạn có hứng thú nói về cái này không?

[hoadaica]

Tình cờ đọc lại cuốn sách của hình học tích phân của Fomenko có thấy viết giới thiệu vài dòng về các không gian với indefinite metric, một trong số các loại đó là không gian Minkovskii, nghe nói đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tương đối. Chả hiểu thế nào. Có nhiều bác biết cái này, post giới thiệu một tí được không?

[Kakalotta]

bởi vì spacetime R^4 được trang bị cấu trúc c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.

[hoadaica]

no comment!!